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1、..第二章复变函数的积分ComplexIntegration.....齐海涛山东大学威海分校数学与统计学院htqi2008@gmail.comMarch12,2010齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20101/21目录..1.复变函数的积分.2.Cauchy定理..3.不定积分..4.Cauchy公式.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20102/21学习要求..1.理解复变函数积分的概念;了解复变函数积分的基本性质,掌握计算复变函数积分的一般方法...2.理解单通区域Cauchy定理,复通区域Ca
2、uchy定理...3.掌握Cauchy积分公式和高阶导数公式;了解解析函数具有无穷可微性...4.掌握综合利用上述定理和公式计算积分的方法.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20103/21说明复变积分是研究解析函数的一个重要工具.解析函数的许多看起来与积分无关的性质,例如:”解析函数的导数连续”及”解析函数的各阶导数存在”,都要用复变积分来证明.本章建立的Cauchy积分定理及Cauchy积分公式非常重要,是复变函数的理论基础.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20104/21..1.复变函数的积分
3、.2.Cauchy定理..3.不定积分..4.Cauchy公式.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20105/21复变函数的积分设在复数平面C的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z).把曲线l任意分成n段,分点分别为z0=A,z1,z2,···,zn=B.ζk是[zk−1,zk]段上的任意一点,作和∑n∑nf(ζk)(zk−zk−1)=f(ζk)△zk.k=1k=1.y.B,zn若当n→∞,使得max
4、△zk
5、→0时,此和数的极限k存在,且与ζk的选取无关,则称此极限值为∫f(z)沿.ζk曲线l的路积分,记作f(z)d
6、z,即.zlk.zk−1∫∑nf(z)dz=limf(ζk)(zk−zk−1).(1.1)n→∞l.A,z0k=1.O..x齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20105/21复变函数的积分一个复变函数积分实际上是两个实变函数线积分的有序组合∫∫f(z)dz=(u+iv)d(x+iy)l∫l∫=(udx−vdy)+i(vdx+udy).(1.2)ll复变函数积分的性质:∫∫af(z)dz=af(z)dz,其中a为常数;ll∫∫∫∫lf(z)dz=l1f(z)dz+l2f(z)dz+···lnf(z)dz,其中l=l1+l2
7、+···+ln;∫∫−−f(z)dz=−f(z)dz,其中l表示l的逆向;ll∫∫∫∫l[f1(z)+f2(z)+···+fn(z)]dz=lf1(z)dz+lf2(z)dz+···+lfn(z)dz;∫
8、f(z)dz
9、≤ML,其中M为
10、f(z)
11、在l上的上界,L为l的长度;l∫∫
12、f(z)dz
13、≤
14、f(z)
15、
16、dz
17、.ll齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20106/21复变函数的积分.Example1.1...试计算积分∫∫I1=Rezdz,I2=Rezdz,l1l2l.1,l2分别如下图所示.两条路径的起点和终点相
18、同,均自z=0至z=1+i......y.l2.i.1+i.l2.l1.O..x.l1.1齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20107/21复变函数的积分.Example1.1...试计算积分∫∫I1=Rezdz,I2=Rezdz,l1l2l.1,l2分别如下图所示.两条路径的起点和终点相同,均自z=0至z=1+i......y解:利用(1.2)易得:.l2∫∫.i.1+i111I1=xdx+idy=+i;002.l2.l1∫1∫11I2=0·idy+xdx=..O..x002.l1.1齐海涛(山东大学威海分校)数学物理
19、方法March12,20107/21复变函数的积分.Example1.1...试计算积分∫∫I1=Rezdz,I2=Rezdz,l1l2l.1,l2分别如下图所示.两条路径的起点和终点相同,均自z=0至z=1+i......y解:利用(1.2)易得:.l2∫∫.i.1+i111I1=xdx+idy=+i;002.l2.l1∫1∫11I2=0·idy+xdx=..O..x002.l1.1显然,复变函数的积分依赖于:被积函数,端点位置,积分路径.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20107/21..1.复变函数的积分.2.C
20、auchy定理..3.不定积分..4.Cauchy公式.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法March12,20108/21Cauchy定理Cauchy定理讨论的是积分值与积分
