新概念：用问题驱动的数学教学(续)new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com高等数学研究Vo【．7．No．58STUDIESINCoLLE(正MrHEMATICSSep．，2004新概念：用问题驱动的数学教学(续)张奠宙张荫南(华东师范大学数学系上海200062；复旦大学数学系上海200433)实例1用导数研究函数的讨论。问题1世间万物在变化，变量无处不在。那么变量之间的关系有几种类型?这是一个很具本原性的问题。从实际生活中我们可归结出下列的类型。a．完全不相关b．变量Y由变量组{X1，X2，⋯，}决定c．变量Y由变量X决定d

2、．不确定的关系这些关系的研究推动了各种数学的诞生。d．产生概率论，b．产生多元微积分，c．产生一元微积分，a．推动了各种“独立性”的数学。问题2为什么要研究函数?初中里的函数定义，是考察自变量和因变量，把函数作为变量之间的关系。真实的生活中虽然没有直接的函数存在，但是我们不得不面对的是和很多有自己内涵的变量。例如：商品价格，需求量，时间，上证指数，交易量，信用卡余额，温度，交通事故数。我们天天都在和它们打交道，并力图找出这些变量之间的关系。这里的关键词是“关系”。设想你在某公司做事，在公司的业务数据

3、库，公司的电脑中有函数吗?当你的上司希望你完成一项市场分析时，你能在公司里找到任何函数公式吗?如果找不到函数，．就无须微积分来帮忙了。因此，学习微积分，理解函数是前提，是研究对象。问题3如何去分析函数呢?增量是重要的一环。现用一元函数为例说明。设有二个变量x，Y。一某商品的销量，z一该商品的价格。在一定的条件下，Y与z的关系可用价格——销售函数Y=f(z)来描写。作为决策者，销售经理虽然关心函数厂，但是他更要考虑的问题是，如果现在的价格是z0，在z0的基础上调整Ax量时，市场的反应(销量的增加或减少

4、)如何?即他应研究是△z与相应的Ay的之间关系：Ay=f(X0+Ax)一f(X0)对Ax，Ay的分析称为增量分析，这是微积分的灵魂。在中学里对函数的研究出发点是z和Y之间的关系，而微积分的研究重点则是首先考察Ax与／Xy的关系，并由此进一步研究函数Y=f(z)的性质。问题4如何用函数的增量刻画收益率?大家都知道指数函数3，=P0a，f0，只看抽象的指数函数，你的感觉是冰冷的。但当你用*收稿El期：2004—01—05维普资讯http://www.cqvip.com第7卷第5期张奠宙、张荫南：新概念：

5、用问题驱动的数学教学(续)9它来刻画某项投资在t时的现值时，我们就有了新的思路。资产收益率是指在一个单位时间里的资产增量，(f4-1)一(f)除以当时的资产总额(t)获得的百分数。现在我们令口=14-r，计算下式可以得到(!±)二(!)一：二一．．(t)一Po一这样r可以看作在一个单位时间(一年、一月、一天、或者一小时)后的资产收益率。因此，在指数函数的情形下，收益率很容易计算。这时你对指数函数是否会倍感亲切呢?你应该关注r。当，．>0时，你会赚更多的资产。如果r<0，你将减少收益率，甚至亏本。收益

6、率的计算公式(t4-1)一v(t)与v(t)之比是一个很重要的数学模型。问题5用集合之间的对应定义函数有什么好处?高中课本的函数定义是：．厂是一种规则，它将定义域D，，中的每个实数对应于唯一的实数厂()，记为厂：—f()，∈Dr。大部分的学生都能背出这个定义。但是，很多人说不清它和变量的函数定义有什么区别?那么这种表述能刺激他(她)们去思考、去应用吗?函数的变量说是宏观地考察函数，那是本原的。核心的有活力的数学思想。对应说，是微观地考察函数，它能精确地描述函数(比如分段函数，在端点处对应的函数值是多

7、少，可以明确表示)。但是，背诵这种形式的表述，并无重要意义。变量、关系，才是函数观念的活的灵魂。所谓“变量说”是陈旧的，“集合对应”说是现代的，完全是过度形式化思潮的反映。问题6如何从抛物线的切线来观察=的性质?在中学里，抛物线是研究得非常透彻的。但是，我们从它的切线斜率的变化能够发现什么特性?左面部分，切线斜率为负数，渐渐变大，一直到零(：0处)。然后看到右面一支，其切线斜率为正数。由小变大，直至无穷大。看来。观察切线的斜率，可以帮助我们认识函数的性质。切线斜率是割线斜率的极限。割线斜率是两个增量

8、之比Ay／Ax。问题7如何求瞬时速度?顾名思义，瞬时速度是我们容易理解的直觉概念。于是问题归结为如何求瞬时速度。自然的想法是用平均速度加以逼近。这时又遇到as／at，增量之比。总之，当我们明白了函数是表达变量之间关系的工具时，我们就能知道为什么要研究、学习函数。这一点也启发我们去讨论下面的问题。问题8如何研究ax与ay的关系呢?牛顿等先驱者的伟大在于指出了要用极限的方法去分析ax与ay的关系，即研究当△一0时，△如何变化。特别地，需要研究两个增量比值Ay／Ax的极限。