新概念用问题驱动的数学教学(续)

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1、高等数学研究@AB/C，8A/D!!!!!!!!!12345672689:;;7<7=>3?7=>36922EF/，#$$&名师论教!!新概念：用问题驱动的数学教学（续）"#张奠宙!张荫南"#（华东师范大学数学系!上海!#$$$%#；!复旦大学数学系!上海!#$$&’’）实例"!用导数研究函数的讨论。问题"!世间万物在变化，变量无处不在。那么变量之间的关系有几种类型？这是一个很具本原性的问题。从实际生活中我们可归结出下列的类型。()完全不相关*)变量+由变量组｛!"，!#，⋯，!"｝决定,)变量+由变量-决定.)不确定的关系这些关系的研究推动了各种数学的诞

2、生。./产生概率论，*/产生多元微积分，,/产生一元微积分，(/推动了各种“独立性”的数学。问题#!为什么要研究函数？初中里的函数定义，是考察自变量和因变量，把函数作为变量之间的关系。真实的生活中虽然没有直接的函数存在，但是我们不得不面对的是和很多有自己内涵的变量。例如：商品价格，需求量，时间，上证指数，交易量，信用卡余额，温度，交通事故数。我们天天都在和它们打交道，并力图找出这些变量之间的关系。这里的关键词是“关系”。设想你在某公司做事，在公司的业务数据库，公司的电脑中有函数吗？当你的上司希望你完成一项市场分析时，你能在公司里找到任何函数公式吗？如果找不

3、到函数，就无须微积分来帮忙了。因此，学习微积分，理解函数是前提，是研究对象。问题’!如何去分析函数呢？增量是重要的一环。现用一元函数为例说明。设有二个变量#，$。$—某商品的销量，#—该商品的价格。在一定的条件下，$与#的关系可用价格———销售函数$0（%#）来描写。作为决策者，销售经理虽然关心函数%，但是他更要考虑的问题是，如果现在的价格是#$，在#$的基础上调整"#量时，市场的反应（销量的增加或减少）如何？即他应研究是"#与相应的"$的之间关系："$&（%#$’"#）(（%#$）对"#，"$的分析称为增量分析，这是微积分的灵魂。在中学里对函数的研究出发

4、点是#和$之间的关系，而微积分的研究重点则是首先考察"#与"$的关系，并由此进一步研究函数$0%（#）的性质。问题&!如何用函数的增量刻画收益率？+大家都知道指数函数$0)$*，+#$，只看抽象的指数函数，你的感觉是冰冷的。但当你用万方数据!收稿日期：#$$&G$"G$D第,卷第(期)))))))张奠宙、张荫南：新概念：用问题驱动的数学教学（续）.它来刻画某项投资在!时的现值时，我们就有了新的思路。资产收益率是指在一个单位时间里的资产增量，（"!!"）#（"!）除以当时的资产总额（"!）获得的百分数。现在我们令#$"!$，计算下式可以得到!%"!（"!%"

5、）&（"!）(%#&(%#’’$!（"!）(#%这样$可以看作在一个单位时间（一年、一月、一天、或者一小时）后的资产收益率。因此，在指数函数的情形下，收益率很容易计算。这时你对指数函数是否会倍感亲切呢？你应该关注$。当$&%时，你会赚更多的资产。如果$’%，你将减少收益率，甚至亏本。收益率的计算公式（"!!"）#（"!）与（"!）之比是一个很重要的数学模型。问题()用集合之间的对应定义函数有什么好处？高中课本的函数定义是：)是一种规则，它将定义域*)中的每个实数+对应于唯一的实数（)+），记为)：+$（)+），+%*)。大部分的学生都能背出这个定义。但是，

6、很多人说不清它和变量的函数定义有什么区别？那么这种表述能刺激他（她）们去思考、去应用吗？函数的变量说是宏观地考察函数，那是本原的，核心的有活力的数学思想。对应说，是微观地考察函数，它能精确地描述函数（比如分段函数，在端点处对应的函数值是多少，可以明确表示）。但是，背诵这种形式的表述，并无重要意义。变量、关系，才是函数观念的活的灵魂。所谓“变量说”是陈旧的，“集合对应”说是现代的，完全是过度形式化思潮的反映。+问题*)如何从抛物线的切线来观察"$+的性质？在中学里，抛物线是研究得非常透彻的。但是，我们从它的切线斜率的变化能够发现什么特性？左面部分，切线斜率为

7、负数，渐渐变大，一直到零（+$%处）。然后看到右面一支，其切线斜率为正数，由小变大，直至无穷大。看来，观察切线的斜率，可以帮助我们认识函数的性质。切线斜率是割线斜率的极限。割线斜率是两个增量之比"","+。问题,)如何求瞬时速度？顾名思义，瞬时速度是我们容易理解的直觉概念。于是问题归结为如何求瞬时速度。自然的想法是用平均速度加以逼近。这时又遇到"-,"!，增量之比。总之，当我们明白了函数是表达变量之间关系的工具时，我们就能知道为什么要研究、学习函数。这一点也启发我们去讨论下面的问题。问题-)如何研究"+与""的关系呢？牛顿等先驱者的伟大在于指出了要用极限的

8、方法去分析"+与""的关系，即研究当"+$%时，""如何变化。特别