最小非参似然比拟合优度检验

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1、广西师范大学硕士学位论文:最小非参似然比拟合优度检验最小非参似然比拟合优度检验年级:2007级专业:概率论与数理统计研究方向:数理统计研究生:李海锋摘导师:张军舰副教授要在实际数据处理中，人们常常是从未知的总体中抽取一组数据，然后借助该组数据对总体或其某些特征作出推断。这里面主要有两类问题：一是估计问题，二是检验问题。如何从已知分布类型的数据中去解决这两类问题，是统计学界长期关注的课题之一。由于总体的分布类型已知，但包含有未知参数。因此，首先要解决的问题必然是参数估计问题，然后才能考虑相应的检验问题，这其中比较重要的一类便是最小距离估计及其检验。它首先是寻找经

2、验分布和理论分布族中分布之间可度量的一个泛函，然后借助这个泛函关于参数最小化而得到所需参数的估计量，进而得到对应的检验。这种估计和检验对数据的依赖性较强，能较充分利用数据的信息，特别是未知真实分布不属于特定分布族时，它也可以给出此族中与数据真实分布最接近的一个分布，从而避免了数据信息的误用。此外，这种估计还具有稳健性，相合性等基本特性。因此，最小距离方法是很有想法的一种统计方法，进一步对其进行研究是具有非常重要的理论意义和较强的使用价值。本论文主要考虑两种情况的距离方法，一是最小加权KS距离，另一种是最小非参似然比方法。前者是对传统KS距离方法的推广，后者是对加权

3、KS距离的进一步研究，因此前者是研究的基础，后者是对新方法的开拓。之所以选择这两种方法来进行研究，主要是基于它在简单零假设下用作检验统计量所具有的优良性质，详见BerkandJones(1979)。论文首先给出了最小加权KS估计的估计量，即T(Fn)=argmindFn(θ)=argminsupθ∈Θ1θ∈Θ1x

4、Fn(x)−F(x,θ)

5、ψ(F(x,θ)).在此基础上分别讨论了所得估计量的统计性质，如相合性、影响函数(或稳健性)以及对应的极限分布。同时我们也导出了由最小加权KS估计量代入检验量后所得到的新的检验在复合零假设下的极限分布。类似于最小加权KS统计

6、量的思想和性质，我们得到了最小非参似然比检验所对应的参数估计及其统计性质，如相合性、极限分布等；也可得到相应的检验统计量，并给出了对应的同极限分布随机变量。最小非参似然比估计量为T(Fn)=argminBJFn(θ)=argminsupK(Fn(x),F(x,θ)),θ∈Θ1θ∈Θ1x其中K(x,y)=xlogxy+(1−x)log1−x1−y,∀x,y∈(0,1).第I页广西师范大学硕士学位论文:最小非参似然比拟合优度检验最后，为说明所提方法与传统方法的优劣，我们做了大量的模拟。模拟结果显示：我们所提的方法在某些情况和准则下还是优于已有的估计和检验方法

7、，如估计的稳健性，在对立假设成立时检验的功效较高等。本论文的创新点主要体现在利用加权KS检验和非参似然比拟合优度检验去度量复合零假设下经验分布函数与其对应理论分布F(x,θ)之间的距离，最小化这些距离得到相应参数估计，然后把此参数估计代入原来的距离公式中得到一种新的复合零假设下的检验统计量。这种方法是前人所没有的，也是本论文的主要创新点。我们所得到的估计比传统的MLE(极大似然估计)更加稳健，所得检验在某些情况下比已有的检验方法更加有效。此外，论文研究过程中数学工具较为复杂，有一定的理论难度；所得估计和检验的极限理论，如参数估计的相合性、稳健性、极限分布、检验统计

8、量在复合零假设下的极限分布等，这些结论可以丰富和完善拟合优度检验和非参数估计的一些理论。关键词:拟合优度检验;最小距离估计;非参数似然比;加权KS;极限分布第II页广西师范大学硕士学位论文:最小非参似然比拟合优度检验TheMinimumNonparmetricLikelihoodRatioTestforGoodnessofFitGrade:2007Major:ProbabilityandStatisticsResearchfield:StatisticsGraduate:LiHaifengSupervisor:ZhangJunjianABSTRACTInrea

9、ldataanalysis,dataarealwayssampledfromanunknownpopulation.Wewanttoinferthepopulationdistributionoritsnumericcharacters.Therearetwokindsofquestions:estimationandtest.Howtosolvethequestionsbasedonthedatafromtheknowndistributionfamilywithunknownparameters.ItisoneoftheimportanttopicinStat

10、istic