宝安中学2013-2014高二理科数学“王子杯”竞赛题

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1、2013-2014宝安中学高二年级理科数学第一届“王子杯”数学竞赛试题命题：许世清审题：周晓兰蔡毅陈少晗本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-17题，共80分。全卷共计120分。考试时间为90分钟。注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。3、考试结束，监考人员将答题纸收回。第Ⅰ卷（本卷共计40分）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）1.命题“”

2、的逆否命题是A若或则B若且则C若则或D若则且2.等比数列中，已知，，则=A1B2C3D43．条件，条件，则的A、充要条件B、既不充分也不必要条件C、必要不充分条件D、充分不必要条件4.在△ABC中，已知,那么△ABC一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形5.设双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为A.B.C.D.6．某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p1,第三年比第二年的增长率是p2，而这两年中的年平均增长率为p，在p1+p2为定值

3、的情况下，p的最大值是A.B.C.D.77.椭圆的准线方程是ABCD8.已知，，且，，，则的最小值为A、B、C、D、第Ⅱ卷（本卷共计80分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）9.在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　10.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_______11.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出了如下一种解法：解析：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不

4、等式的解集为；12.已知方程表示的曲线是抛物线，则实数k的值等于7三、解答题：（每题12分，共计60分）13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积.14．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x

5、－3＜x＜1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；(2)b为何值时，命题“（a－2）x2＋bx＋3－b＜0”的是假命题？15.定义在上对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。716.设函数，对于正数数列，其前项和为

6、，且，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.17.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；xy0FPQ（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．7答案：选择题BDDBCBAC填空题：9.4510.11.12.解答题：13.解：∵A+B+C=180°由…………1分∴………………3分整理，得…………4分解得：……5分∵∴C=60°……………

7、…6分（2）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab…………7分∴=25－3ab10分∴…………12分14.【解】(1)由根与系数的关系解得：a＝3.……………………3分所以不等式变为：2x2－x－3>0，解集为：(－∞，－1)∪（，＋∞）.……………………6分(2)由题意知：不等式x2＋bx＋3－b≥0恒成立，………………8分变形得，设，…………11分所以当且仅当即时，，故.…………12分15.解：要使原不等式恒成立，只要恒成立……2分由恒成立得…………5分由恒成立……

8、……8分7故所求a的取值范围是……………………12分16.解：（1）由，，得①，②即，………3分即，即∵＞，∴，即数列是公差为2的等差数列，……5分由①得，，解得，因此，数列的通项公式为.………7分（2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有③当时，有④③－④，得，由得，………………11分又满足条件，因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立.…………………12分17.（1）解：设，则，∵，∴．即，即，7所以动点的轨迹的方程．………………4分（2）解：设圆的圆心坐标为，则．①圆的半径为．圆的方程为．令，

9、则，整理得，．②由①、②解得，．不妨设，，∴，．∴………………………………8分，③当时，由③得，．当且仅当时，等号成立．当时，由③得，．故当时，的最大值为．…………………………12分7