2013-2014学年北京市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）

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1、2013-2014学年北京市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1.i是虚数单位，5i2−i= ()A.1+2iB.−1−2iC.1−2iD.−1+2i2.由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为 ()A.13B.53C.73D.1133.x−2y8的展开式中x6y2项的系数是 ()A.56B.−56C.28D.−284.若曲线fx=ax2−lnx的图象在点M1,a处的切线平行于x轴，则a的值为 ()A.−2B.2C.−12D.125.1+cosxdx−π2π2等于 ()A.πB.2C.π−2D.π+26.x2−2

2、x35展开式中的常数项为 ()A.80B.−80C.40D.−407.6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有 ()A.240种B.360种C.480种D.720种8.下列命题中，假命题为 ()A.存在四边相等的四边形不是正方形B.z1,z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C.若x,y∈R，且x+y>2，则x，y至少有一个大于1D.对于任意n∈N*,Cn0+Cn1+⋯+Cnn是偶数9.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ()A.324B.328C.360D.64810.函数fx=4xx2+

3、1x∈R ()A.既有最大值2，又有最小值−2B.无最大值，但有最小值−2C.有最大值2，但无最小值D.既无最大值，又无最小值二、填空题（共6小题；共30分）11.如果复数m2+i1+mi是实数，则实数m= ．12.函数fx=xlnxx>0的单调递增区间是 ．13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．第5页（共5页）14.设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4， ， ，T16T

4、12成等比数列．15.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49⋯照此规律，第n个等式为 ．16.已知函数fx=−x3+2ax，x∈0,1，若fx在0,1上是增函数，则实数a的取值范围为 ．三、解答题（共4小题；共52分）17.甲组有6人，乙组有4人，其中组长各1人．（1）这10人站成一排照相，根据下列要求，各有多少种排法?1同组人员相邻；2乙组人员不相邻．（2）现选派5人去参加比赛，根据下列要求，各有多少种选派方法?1甲组3人，乙组2人；2组长中至少有1人参加．18.已知数列an=8n2n−12×2n+12n∈N*，其前n项和为

5、Sn．经计算得:S1=89，S2=2425，S3=4849，S4=8081．（1）观察上述结果，猜想计算Sn的公式；（2）用数学归纳法证明所提猜想．19.已知函数fx=13x3−ax2+a2−1x+ba,b∈R．（1）若x=1为fx的极值点，求a的值；（2）若fx的图象在点1,f1处的切线方程为x+y−3=0，求fx在−2,1上的最大值和最小值．20.已知函数fx=−x2−mx−me−xm∈R．（1）求f′x；（2）求fx的单调区间．第5页（共5页）答案第一部分1.D2.C3.A4.D5.D6.C7.C8.B9.B【解析】分两种情况：个位为0与个位不为0．个位为0的数只需再确定

6、十位与百位即可，有9×8=72个；个位不为0的，需要在2，4，6，8中任选一个放在个位，再在除0与个位数字之外的8个数字中选择一个数字放在百位，最后选定十位，共有4×8×8=256个．故共有满足条件的数72+256=328个．10.A第二部分11.−112.1e,+∞【解析】就是求fʹx≥0的解集．13.23【解析】每位同学均有3种选择的方法，三位同学共有33种不同的选择方法．其中两人选择项目相同，先从三位同学中确定两位同学，有C32种方法，再让这两位同学去选择项目，有3种选择项目的方法；剩下的一位同学与它们不同，有3−1=2种选择项目的方法．由此可得有且仅有两人选择项目完全相

7、同的参赛方法共有32×2=18种方法．故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P=1827=23．14.T8T4，T12T815.n+n+1+n+2+⋯+3n−2=2n−1216.32,+∞【解析】fʹx=−3x2+2a，因为x∈0,1上是增函数，则fʹminx≥0，即−3+2a≥0，所以a≥32．第三部分17.（1）（1）A66⋅A44⋅A22=720×24×2=34560；（2）A66⋅A74=720×840=604800．      （2）（1）C63⋅C42=20×6=120；（2）C