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1、2.4《平面向量的数量积》导学案[来#源:中%国@教育出~&版网]【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.【导入新课】复习引入：1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ23．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的
2、两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作[中国#教^@育*出版网&]4．平面向量的坐标运算若，，则，，.若，，则5．∥(¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0[来#源:中国教~^育出版*网@]6．线段的定比分点及λP1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)7.定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1)，
3、Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.[*中国教育~出版网@^%]8.点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，可得=.[zzs#%te&*p.c~om]10．力做的功：W=
4、F
5、×
6、s
7、cosq，q是F与s的夹角.新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念[来^源%:&@中~教网]已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠Ａ
8、ＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.[@#z%zstep~*.com]说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；[w^*#w~w.zzs@tep.com]（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量
9、a
10、
11、b
12、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=
13、a
14、
15、b
16、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.×探究：两个向
17、量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是a×b=b×ca=c[www.
18、z@&zstep.c%#^om]如右图：a×b=
19、a
20、
21、b
22、cosb=
23、b
24、
25、OA
26、，b×c=
27、b
28、
29、c
30、cosa=
31、b
32、
33、OA
34、Þa×b=b×c但a¹c显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图[www.z#zste&*p~.co@m]定义：
35、b
36、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为
37、b
38、；当q=180°时投影为-
39、b
40、.4．向量的数量积
41、的几何意义：[来&源:%中国@教*育#出版网]数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影
42、b
43、cosq的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1°e×a=a×e=
44、a
45、cosq2°a^bÛa×b=03°当a与b同向时，a×b=
46、a
47、
48、b
49、；当a与b反向时，a×b=-
50、a
51、
52、b
53、.特别的a×a=
54、a
55、2或[中国^教#育~出&版%网]4°cosq=5°
56、a×b
57、≤
58、a
59、
60、b
61、[z^z#*step.~co&m]例1已知
62、a
63、=5，
64、b
65、=4，a与b的夹角θ=120o，求a·b.
66、例2已知
67、a
68、=6，
69、b
70、=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).例3已知
71、a
72、=3，
73、b
74、=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.例4判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向
