数理统计第二章抽样分布2.4节三大分布

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1、第二章抽样分布及若干预备知识2.4统计上的三大分布12.4统计上的三大分布22.4.1分布定义2.4.1:设X1,X2,,Xn相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：222XXX12n2是自由度为n的变量.2所服从的分布为自由度为n的分布.2记为~nn为独立随机变量的个数.22定理2.4.1:设随机变量~，则其概率密度函数为nnx11x22ex0n2gx()2(2)nn00x其中伽玛函数()通过积分x1()ex

2、dx,00来定义.3证明：X1,X2,,Xn的联合密度函数为n112f(x,x,,x)exp{x}12nni2i12n(2)2Xi的分布函数为i1n2若x0,Gxni()P(Xx)i1n112n/2exp{xdxin}1dx(2)n2i12xxii14n112Gxn()n/2exp{xdxi}1dxn(2)n2i1作球坐标变换xx2ii1xcoscoscos112n1n1xcoscossinJD

3、()212n1xsinn11/2/2Gxn()n/2[/2/2D()d11dn](2)x1n12[exp{}d]02x12n12令yCdexp{}n02nCx11n2yexp{ydy}5220nCx11Gx()n2yexp{ydy}n220nC11n2令x1yexp{ydy}220nnn111n222Cyexp{ydy}22()Cn0nn21nC1/[22()]n2n

4、11x1Gx()y2exp{ydy}n2n/2(/2)n02nx11x22ex0'n2gx()Gx()2(2)nnn00x62n分布的密度函数图形自由度依次为n=1,3,5,7n=1n=3n=5n=77n=1时,其密度函数为1.211xxe22,0x1fx()20.80.60,x00.40.2246810n=2时,其密度函数为1x0.4ex2,0()20.3fx0.20,x00.1为参数为1/2的指数分布.24688Ga

5、mma分布,设,是正常数,由积分1xxedx0定义.如果X的密度是1xxe,0xfx0,x0则称X服从参数,的Gamma分布,记作X~,9说明1、当1时，1,即E此时xex0fx00x这正是参数为的指数分布10n12、如果，，其中n为22自然数，则有nx11x22ex0nnfx22200x2此分布即为自由度

6、n的分布，112变量的性质1设X,X,,X相互独立,都服从正态分布12n2N(,),则n21222(Xin)~i122若X~则X的特征函数为nn()t(12)it212223(可加性)设ZZ12~nn,~且122Z1,Z2相互独立，则ZZ12~nn122推广：Zii~(),ni1,2,,,k且相互独立,则k22Zi~ki1nii124若X~n则E(X)=n,D(X)=2n25若X~则nXnLN(0,1)2n13性质2的证明：

7、由特征函数定义，得nxitXitx11()tEe()ex22edx02n2(2)n1n1(itx)1e22xdx2n2(2)n01(2)nn2n22(2)n1it2n212it14性质3的证明(特征函数法)：由性质2，得n12n221()t12it2()t12it因为，Z1,Z2相互独立，因此，Z1＋Z2的特征函数是(nn12)2()t12()t()t12it即：Z1＋Z2也服从开方分布，自

8、由度为n1+n215性质3的证明(定义法)：由定义知222ZXXX112n1其中XX,,,Xiid...~N(0,1)12n1222ZXXX2n1n2nn1112其中X,X,,Xiid...~N(0,1)n12nnn1112由Z1,Z2相互独立知XX,,,X,X,,Xiid...~N(0,1)12nn1nn11122根据定义有ZZ12~nn1216性质4的证明：法一（特征函数法）由于itX()tEe(itX)'()tEiXe()''22itX()t