数理统计第二章抽样分布2.7节充分统计量

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1、第二章抽样分布及若干预备知识2.7充分统计量12.7充分统计量统计推断的目的：对总体的分布(参数)进行推断．样本带有总体分布(参数)的信息．统计量集中了样本中关于总体分布(参数)的某部分信息．集中了样本中关于总体分布（参数）的全部信息的统计量，即不损失信息的统计量——充分统计量.问题：如何定义一个统计量是充分统计量？2关于样本X=(X1,X2,…,Xn)的信息可以设想成如下公式{样本X}中的信息={T(X)中所含样本的信息}+{在知道T(X)后样本X含有的剩余信息}因此T(X)为充分统计量的要求归结为要求后一项信息为0用统计语言描述为，即要求PX(

2、AT

3、t)与无关，其中A为任一事件.32.7.1充分统计量的定义定义2.7.1设样本分布族为Fx(),,是参数空间设T=Ｔ(Ｘ)为一统计量，若在T已知的条件下，样本X的条件分布与参数无关，则称Ｔ(Ｘ)为充分统计量.充分统计量必存在！顺序(次序)统计量是充分统计量．4例2.7.1设X=(X1,X2,…,Xn)是从0-1分布中抽取的样本，则nTX()Xi为充分统计量i1证明：记T=T(X)，按照定义只要证明下列条件概率与参数无关.n当xti0时，有i=1PX(xX,x,,XxT

4、t)1122nn05PX(xX,x

5、,,XxT

6、t)1122nn0PX(xX,x,,XxT,t)1122nn0PTx(()t)0PX(xX,x,,Xx)1122nnPTx(()t)0tnt00(1)1nntnt00(1)tt006因此，有PX(xX,x,,XxTx

7、()t)1122nn0n1,当xti0ni=1t0n0,当xti0i=1上述条件概率与无关.n因此TX()Xi是充分统计量.i17例2.7.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总体N(,1)中抽取

8、的样本，则n1TX()XiX为充分统计量ni1证明：记T=T(X)，按照定义只要证明给定T时X的概率分布与参数无关.但是计算复杂.采取如下正交变换方法进行.(,YY,,Y)'=A(XX,,,X)'12nn12其中A是正交阵,为8111nnna21a22a2nAaaan12nnn因此nY1XnX1nii=1nYaX,j2,3,,njjkkk19nn由定理2.2.3的证明过程可知YX22iiii11且YY,,,Y相互独立，其中12nY~N(n,1)Yi~N(0,1),i2,3

9、,,n1显然，X对原样本X(XX,,,X)的充分性12n等价于Y对样本YY,,,Y的充分性112n因此只要证明给定Y=y时()YY,,,Y1112n的条件密度与无关即可.10YY,,,Y的联合密度为12nnn/21122fyy(,12,,yni)=(2)expy(y1n)22i2Y1的边缘密度为112f(y)=exp(yn)Y11122给定Y=y时()YY,,,Y的条件密度1112nfyy(,,,y)12nfyy(,,,y

10、y)=12n1fy()Y11n(n1)/212=(2)exp

11、yi与无关.2i2因此TX()X是充分统计量.11例2.7.3设X=(X1,X2,…,Xn)是从指数分布Exp()中抽取的样本，则nTX()Xi为充分统计量i1证明：X1的概率密度函数为xex,0fx(,)0,x0则X=(X1,X2,…,Xn)的联合密度为nxifx(,)nei1I[x0,i1,2,,]ni12YX作变换11YXnn11YXXXtn12n变换的雅可比行列式为

12、J

13、=1这是一个一一对应的变换.nTX()Xi对原样本X=(X1,X2,…,Xn)i1

14、的充分性等价于Yn对(Y1,Y2,…,Yn)的充分性13因此只要证明给定Ynn=y(即Tt)(Y1,Y2,…,Yn)的条件密度和无关即可.Y,,Y,Y的联合密度为11nnnfyy(,,,y,)=texp(tI)12n1n1y0,yti,1,2,,n1iii1n1nexp(t)，当yii0,yti,1,2,,n1i10,其它14n由于TX()Xi~Gn(,)i1n因此TX()Xi的密度函数为i1nnnt1nt1ft()teIteITt[0][t

15、0]()n(n1)!给定Tt(Y1,Y2,…,Yn)的条件密度为fy(,,y,)t11