关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的半参数统计推断

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1、山东大学博士学位论文关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的半参数统计推断姓名：苏玉霞申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：林路20090410山东大学博士学位论文关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的半参数统计推断问题苏玉霞(山东大学数学与系统科学学院，济南250100)中文摘要近年来，对倒向随机微分方程的研究得到了广泛的关注．它不仅与非线性偏微分方程有着密切的联系，更—般地，非线性半群，随机控制问题等也与此密不可分．同时，在数理金融中，未定权益的估价和定价理论也可以通过一个线性倒向随机微分方程表示．对倒向方程而言，投资组合的动态变量K可由—个生成

2、元为，的倒向方程来刻画，毛对应未定权益投资组合．特别地，当生成元，又同时是—个扩散过程的函数时，相应的方程称为正倒向随机微分方程．基于正倒向随机微分方程的结构形式，我们提出一类新的模型，形式如下：dYt=--f(t，％，K，磊)dt+磊dWt(1)这里五满足方程dXt=#(Xt)dt+盯(xt)dB；Xo=z，不引起混淆起见，仍然称函数，为生成元函数．这个模型与一般的倒向方程及正向方程都有所不同．与倒向方程相比，我们的模型不考虑终端条件；与正向随机微分方程相比，我们的模型中漂移项不仅含有扩散项函数，而且漂移项还与某个扩散方程有关，这一点是正向方程所不具备的．因而论

3、文中考虑的问题是具有创新性的．本学位论文中所考虑的是关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型(1)的半参数统计推断问题．当模型中生成元为线性函数，以及生成元受到不等式约束时，我们考虑了方程的半参数估计及假设检验问题．在这种情形下的倒向方程估计问题不同于非参数情形下的估计问题(参见ChenandLin(2009)([97])，YangandYang(2006)(【18】))．如果生成元具有参数结构，我们的问题就变成一个半参数估计问题．虽然在参数估计过程中，有一个非参估山东大学博士学位论文计代入，我们仍然得到了参数估计的标准形式的渐进正态性．由此，我们可以进一步地考虑关

4、于参数的假设检验问题．我们主要考虑了生成元具有线性结构时参数的假设检验问题，所借助的主要工具为渐进正态及经验似然方法．特别是对于经验似然，虽然在估计函数里有非参估计代入，我们仍然证明了所构造的经验似然比统计量是渐进X2分布的．对于有约束模型，我们试图得到在不等式约束下的统计结果．文中所得到的结果可以看作是现有结果的改善与深入，其中的渐进结果及假设检验和有约束下模型的估计结果都是全新的．本学位论文共分五章，包含如下部分的内容：第一章主要介绍了正倒向方程的发展及我们提出的模型的相关知识，并给出了我们的模型与一般的倒向方程和正向方程的不同之处，从而意味着我们得到的结果是

5、具有创新性和建设性的．很多在一般随机微分方程中常用的估计方法也做了简要介绍，回顾了参数模型，非参数模型及半参数模型中的估计方法，然后介绍了平稳过程及混合相依过程的定义，这对于考察我们模型的渐进统计性质是必要的．在第二章中，我们主要考虑了如下形式模型的半参数估计及其渐进性质：dYt=(cYt+tLzt)dt+磊d岛，(2)这里X为几何布朗运动，满足方程：dXt=uXtdt+aX￡dB,；Xo=z，这里仳，盯均为未知参数．我们的目的是要在有非参估计互代入时，得到参数p=(c，p)的半参数估计以及考虑估计的渐进性质．所得到的非参数及半参数估计都足简单可实现的，虽然有一个

6、非参插入，但是我们在不需要高阶核，undersmoothing及纠偏方法时，仍然得到了估计以最优速度渐进正态性的结果．将模型(2)离散化，观测时间间隔记为△，这里我们假设得到的是高频数据．假设在某时刻to，有观测数据(Xto+iA，i=0，1⋯．礼一1)及(Ko+iA，i=0，1⋯．n一1)，II山东大学博士学位论文(‰撇，去(％+(i+I)A--玩撇)2)全(玩，坛)，～罄．定理2．3．1设．[醯，i=0⋯．，住一1】．是来自于平稳P混合马氏过程的观测序列，其混合系数满足p(1)=∥，0

7、于p(·)支撑内的一个内点XO，p(xo)>0，矛(zo)>0，同时假设p(·)，z(·)在zo的邻域内有二阶连续可微函数．在条件(A2)的假设之下，当佗一。。，s．t．nh-÷oo，及nhA2_0时，我们有(a)2z(zo)的渐进偏差为一1、p(2)(xo。)fZ2(XO)h21,2+o(h2)+D(△)，p(xo)217’。、一7’渐进方差为塑n@尝(xo+D(三nh)．)’v、广(b)若进一步假设nh5_0，则对于22(zo)，我们有如下的渐进正态性俪(岔2(zo)一Z2(xo))旦Ⅳ(0，Z4(xo)峋肋(zo))．这里p2=￡。u2K(u)du，vo=￡

8、1K2(u