沪教版八年级下213无理方程知识讲解讲义

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1、无理方程知识讲解【学习目标】1、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.【知识网络】3、【要点梳理】要点一、无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程.要点二、有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程.要点三、代数方程有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对

2、未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.要点四、解无理方程的一般步骤1・含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程

3、的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同吋乘方从而去掉根号,对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。要点五、代数方程分类代数方程【典型例题】类型一、无理方程概念仇己知下列关于X的方程:其屮无理方程是（填序号）•【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式屮是否还有未知数.【答案】(2),(3),(5)【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？(1)Vx+2--^27=0；(2)/7-

4、-=0；(3)乎:丁・=0；(4)1-22是常数).ff+l

5、jc

6、-2a【答案】(1)(2)(3)是无理方程.类型二、判断无理方程解的情况V2.不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？①/兀+1+1=0；②J兀+1=1；③Jx-5+』2-x=3.【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式需，有QX0,石>0【答案与解析】(1)因为vtm>o,所以vm+i>o,所以方程无解(2)因为a/x+1>,所以Jx-y/m<0,所以方程无解(3)因为Jlgno,>0所以x25且xW2,所以方程无解【总

7、结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式薦，有a>0,4a>0类型三、解无理方程3.解方程Vx+7-x=l【答案与解析】解：移项得：丿兀+7=x+1两边平方得：兀+7=〒+2兀+1移项，合并同类项得：x2+x-6=0解得：兀=一3或兀=2检验：把兀=-3代入原方程，左边工右边，所以兀=-3是增根.把x=2代入原方程，左边二右边,所以x=2是原方程的根.所以，原方程的解是x=2.【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其

8、余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根.举一反三：【变式】方程"x+1二2的根是.【答案】解：方程两边同吋平方得：x+l=4,解得：x=3.检验：x=3时，左边朿二2,则左边二右边,故x=3是方程的解.故答案是：x=3.仇、【答案与解析】x=23原方程变形为x+2=9-lx-J两边平方得x+2=81-18a/x-7+x-7整理得yjx-l=4再两边平方得解得x-7=16x=23检验：把x=23代入原方程得，左边二右边所以，原方程的根是x=23【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将

9、很困难.这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.举一反三：【变式】+8+=5【答案】x=8原方程变形为Jx+8二5-Jx・7两边平方得x+8=25-10>/x-7+x-7整理得Jx・7=1再两边平方得解得x-7=lx=8检验：把x=8代入原方程得，左边二右边所以，原方程的根是x=8类型四、“换元法”解无理方程S、解方程x2—8x+Jx2—8x二6【答案与解析】州=4+2亦x2=4-2y/5设y=ylx2-8x换元后，整理得方程是y2+y-6=0解得必二2y2=-3(不合题意舍去)所以，a/x2-8%

10、=2两边平方得x2-8x-4=0解这个方程得西=4+2亦x2=4-2y[5检验：把^=4+2^5x2=4-2^5代入原方程得，左边二右边所以，原方程的根是X

11、=4+2^5x2=4-2^5【变式】x?+3x-J2x?+6x