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《数学竞赛初级讲座 柯西不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中学数学教学参考 2001年第9期53竞赛园地○数学竞赛初级讲座○柯西不等式陕西省永寿县中学安振平222 柯西不等式是一个十分重要的不等式定a1a2an++⋯+理,从近年来国内外各级竞赛中不难看出,许b1b2bn2多涉及不等式的赛题,若能运用柯西不等式进(a1+a2+⋯+an)≥,b1+b2+⋯+bn行求解,便可获得较为简明的解法.当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,⋯,n)时一、基础知识取等号.11柯西(Cauchy)不等式例1设a、b、c、d是4个不全为零的实定理 设a1、a2、⋯、an,b1、b2、⋯、bn均ab+2bc+
2、cd2+1是实数,则数,求证2222≤.a+b+c+d22(a1b1+a2b2+⋯+anbn)导析:为了使用柯西不等式(必要时还可222222≤(a1+a2+⋯+an)(b1+b2+⋯+bn),以应用均值不等式),可从欲证不等式左边的等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,⋯,分子入手,并将其进行适当的变形.n)时成立.ab+2bc+cd这个命题的证明在一般的竞赛教程中都=(ab+cd)+(bc-ad)+(bc+ad)可以查找到,这里从略.≤2[(ab+cd)2+(bc-ad)2]21柯西不等式的推论2222+(b+a)(c+d)推论
3、1 设a1、a2、⋯、an,b1、b2、⋯、bn为2222=2·(a+c)(b+d)实数,则有2222+(a+b)(c+d)222222a1+a2+⋯+an+b1+b2+⋯+bn2222(a+c)+(b+d)222≤2·≥(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn),22222当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,⋯,n)时+(a+b)+(c+d)2等号成立.2+12222推论=(a+b+c+d).2 设a1、a2、⋯、an,b1、b2、⋯、bn为2实数,则有+a例2已知a,b,c∈R,求证a+2b+c222222
4、a1+a2+⋯
5、+an-b1+b2+⋯+bn
6、bc3++≥.a+b+2c2a+b+c4222≤(a1-b1)+(a2-b2)+⋯+(an-bn),导析:从欲证不等式的结构看,可考虑应当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,⋯,n)时用推论3.为此,可给左边三项的分子、分母分等号成立.别乘以a、b、c.推论3 设a1、a2、⋯、an为实数,b1、b2、22ab左边=2+2⋯、bn为正实数,则有a+2ab+caab+b+2bc54中学数学教学参考 2001年第9期2c满足下列方程+22ca+bc+c2x+3y+z=13,2(a+b+c)4x2+9y2+z
7、2-2x+15y+3z=82.≥222(a+b+c)+3(ab+bc+ca)导析:将两方程左右两边分别相加,变形23(a+b+c)=2223(a+b+c)2+3(ab+bc+ca)得(2x)+(3y+3)+(z+2)=108.3(a+b+c)2由第1个方程变形,得≥223(a+b+c)+(a+b+c)2x+(3y+3)+(z+2)=18.3=.于是由柯西不等式,得422说明:本例的类似是18=[1·(2x)+1·(3y+3)+1·(z+2)]22222abc3≤[1+1+1]·[(2x)+(3y+3)+(z++≤.2a+b+ca+2b+ca+
8、b+2c4+2)2]=182,二、综合应用从而由等号成立的条件可得柯西不等式不仅应用于证明代数不等式,2x=3y+3=z+2=6,它在实数的大小比较、解方程、确定参数的取故原方程的解为x=3,y=1,z=4.值范围,求最值以及几何不等式的证明等方面例6设λ是实数,对任意实数x、y、z恒2222444都有着广泛的应用.有(x+y+z)≤λ(x+y+z)成立,试求例3设a、b、c、d、m、n都是正实数,Pλ的取值范围.导析:由柯西不等式易求出参数λ的取值bd=ab+cd,Q=ma+nc·+,试mn范围是[3,+∞).确定P与Q的大小.(1983年
9、高中联赛题)说明:本题由1990年全国高中联赛题改导析:由柯西不等式,得编.bd例7已知正数x、y、z满足x+y+z=P=am·+nc·mn111xyz,且不等式++≤λ恒成≤bdx+yy+zz+xam+nc++=Q.mn立,求λ的取值范围.例4解方程导析:由2元均值不等式和柯西不等式,4x+3+21-2x=15.得导析:原方程变形为111++x+yy+zz+x3215=(2·2x++2·1-2x)2111≤++22322xy2yz2zx≤[(2)+2][(2x+)21z2=1·+(1-2x)]=15,2x+y+z3xy2x++1·+1·2x
10、+y+zx+y+z其中等号成立的充要条件是=21222≤[(1+1+1)21-2x1,解得x=-.231zxy23·(++)]=.例5求三个实数x、y、z,使得它们
