竞赛校本课程柯西不等式

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1、柯西不等式知识要点1、二维形式的柯西不等式2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4.定理(柯西不等式一般形式)：设a1，a2，a3，…，an；b1，b2，b3，…，bn∈R，则：(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)，或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立.典例剖析例1设a、b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋.求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.【证明】　∵a＋b＝1∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx

2、2)(ax2＋bx1)≥(a＋b)2＝(a＋b)2x1x2＝x1x2即(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2例2　函数y＝5＋的最大值为____________．【解析】　函数定义域为[1,5]，且y>0.∴y＝5·＋·≤·＝6当且仅当·＝5·，即：x＝时，函数取最大值6.例3已知a2＋2b2＝6，则a＋b的取值范围是____________．【解析】　∵(a2＋2b2)[12＋()2]≥(1·a＋b·)2＝(a＋b)24∴(a＋b)2≤6×＝9，∴－3≤a＋b≤3，故a＋b的取值范围是[－3,3]例4设，试求的最大值与最小值。【解析】：根据柯西不等式即而有故的

3、最大值为15，最小值为–15。例5设=(1，0，-2)，=(x，y，z)，若x2+y2+z2=16，则的最大值为　　　　　。【解析】∵　=(1，0，-2)，=(x，y，z)　∴　．=x-2z由柯西不等式[12+0+(-2)2](x2+y2+z2)³(x+0-2z)2Þ　5´16³(x-2z)2　Þ　-4£x£4Þ　-4£．£4，故．的最大值为4例6设x，y，zÎR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z)=　　　　　【解析】(x-2y+2z)2£(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]=4．9=36∴　x-2y+2z最小值为-

4、6，此时∴　，，例7设，试求之最小值。【解析】考虑以下两组向量=(2,–1,–2)=(x,y,z)根据柯西不等式，就有即将代入其中，得而有故之最小值为4。例8设空间向量的方向为a，b，g，0

5、a+9cot2b+25cot2g之最小值，请自行练习。例9设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大值，最小值。【解析】∵　4由柯西不等式知[42+()2+22]³　Þ　25´1³(x+y+z-2)2　Þ　5³

6、x+y+z-2

7、Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7故x+y+z之最大值为7，最小值为-3例10空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角），求的最小值。【解析】由柯西不等式³∵　sin2a+sin2b+sin2g=2　∴　2∴　的最小值=18基础检测1.已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，则

8、mt＋ns

9、的最大

10、值为()A．2B．4C．8D．162．已知00，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是（）A．3B．C．9D．64.函数y＝＋的最大值为()A．3B．2C．9D．65.设a1，a2，…，an为正数，且a1＋a2＋…＋an＝5，则＋＋…＋＋的最小值为()A．3B．5C．D．256.设，则之最小值为________；此时________7.设x，y，zÎR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　　　　8.设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为　

11、　　　　9.设、、为正数且各不相等.求证：.410若>>求证：.能力提升1.设x，y，zÎR，2x+2y+z+8=0，则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为　　　　　2.设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________，此时________.3.函数y＝3sinx＋4的最大值为____________．4.设rABC之三边长x，y，z满足x-2y+z=0及3x+y-2z=0，则rABC之最大角是.5.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最值为____________．6