二次根式的乘法与除法

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1、二次根式的乘法与除法一、学习要求 会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。二、例题分析                            第一阶梯[例1]填空 提示： 1、有意义的条件是什么？ 2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？ 3、不等式组的解如何确定？参考答案： （1）x≥5   （2）-2≤x≤3说明： 有意义的条件是a≥0，是在一定条件下才成立的，不能单单理解为只要ab≥0就有上式成立。因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的与同时有意义，所以题目要求应为a≥0，b≥0时等式成立。这样，

2、我们知道题目的解法应为：  同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。[例2]选择题    成立的条件是（） （A）-1≤x＜2  （B）-1≤x≤2  （C）x≤1   （D）x＞2提示： 1、成立的条件是什么？ 2、如何用数学表达式表示上式成立的条件？ 3、不等式组的解法应该注意什么问题？如何确定不等式组的解集？参考答案：A说明： 等式成立的条件应为左边与右边同时有意义，否则不能说成立，对于，它表示商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，并且被除式a≥0，除式b＞0，于是式（a≥0，b

3、＞0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。这样题目的解法应为：另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分。[例3]化简 提示： 1、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质？ 2、当a≥0时，如何化简？ 3、被开方数是多项式时应该如何处理？参考答案： 说明： 当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质，把能开得尽方数移到根号外面。当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的性质及关系式（a≥0）化简。 注意：被开方数含有因式x2+y2不是完全平方式，所

4、以不能开平方。 化简二次根式的步骤是： 1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。 2、应用积的算术平方根的性质把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积。 3、如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（a≥0），把这个因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。 4、化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）的指数都小于2。                            第二阶梯[例1]化简： 提示： 1、被开方数是带分数时，如何使用二次根式的性质？ 2、被开方

5、数的分子或分母是两个因式的乘积形式时怎么化简？参考答案： 说明： 被开方数是带分数，首先要把它化为假分数，再根据商的算术平方根的性质化简。被开方数的分子是乘积的形式，可以变形为，再运用商与积的算术平方根的性质，把原式化简。形如（n≥0，m＞0）的二次根式的化简的步骤是： 1、利用商的算术平方根的性质，把式子。 2、当被开方数的分子或分母是两个因式（或因数）之时，应利用积的算术平方根的性质，分别将化简。[例2]计算 提示： 1、二次根式的乘法法则是什么？除法法则是什么？ 2、有理数乘法中的符号法则在实数范围内有什么不同吗？ 3、二次

6、根式的除法法则与商的算术平方根的性质有什么不同？参考答案： 说明： 把式子（a≥0，b≥0）反过来，得到：（a≥0，b≥0），这是二次根式的乘法法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，这个法则成立的条件是a≥0，b≥0，运用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。把式子（a≥0，b＞0）反过来，得到：（a≥0，b＞0），这是二次根式的除法法则，运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。 在进行二次根式的乘除法运算时，把两个二次根式中的根号外面的数与被开方数分别相乘（或相除）然后取其积。这是因为在实数一

7、章里，我们已经明确了，有理数的运算法则和运算律，在实数范围内也成立，如乘法的交换律及结合律等。 在运算中应注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。因此，第（1）小题的运算结果应为负号。 运用二次根式的乘法法则进行简单的二次根式的乘法运算步骤是： 1、运用法则把因式的算术平方根的积化为因式的积的算术平方根。 2、如果被开方数是平方式（或平方数），可运用式子（a≥0）把它移到根号外面，使二次根式中的被开方数没有平方式（或平方数）。 二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质（a≥0，b＞0）得到的，二次根式的除法法则和

8、商的算术平方根的性质所表示的式子是相反方向。 第（3）小题还可以有以下两种解法： [例3]计算 提示： 1、二次根式乘法中的符号如何确定？ 2、运算结果被开方数有什么要求？ 3、乘、除的混合运算应按照什么规律进行？ 4、被开方数中的分母如何去掉？参