《实变函数论》课程主要内容

《《实变函数论》课程主要内容》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《实变函数论》课程主要内容第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和DeMorgan公式；上极限和下极限；练习：①证明；②证明；2、对等与基数的定义及性质；练习：①证明；②证明；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；③；④[0,1]中有理数集的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：①；②（P为Cantor集）；5、第一章所布置的作业。第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念2、，聚

2、点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①，，；②=；6、第二章所布置的作业。第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①，；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集的相

3、关结论；5、存在不可测集合；6、第三章所布置的作业。第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；7、第四章所布置的作业。第五章积分论1、非负简单函数L积分的定义；练习：①Direchlet函数在上的L积分2、可测函数L积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4定理1和定理2诸条）；3、Le

4、besgue控制收敛定理的内容和简单应用；4、L积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann可积的充要条件；练习：①上的Direchlet函数不是R-可积的；6、Lebesgue可积的充要条件：若是可测集合上的有界函数，则在上L-可积在上可测；练习：①上的Direchlet函数是L-可积的；②设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。