实变函数论与泛函分析下习题解答

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1、实变函数论与泛函分析(下册)习题解答补郑津畅October15,2014制作解答的初衷是复习泛函分析和练习tex,制作期间得到了王璟睿和尹雪元同学的不少帮助,在此特别鸣谢,不过由于个人时间所限,完成期被无限延长,希望有同学愿意承接之后的部分,目前进度在6.3节.同时由于个人水平所限,如果有同学发现解答中的错误并愿意指出,可以通过邮箱地址jczheng1234@hotmail.com联系我.另外,有部分习题我未能完成,其题号如下:4.6.4,5.1.14(3),5.2.10(2),5.3.2,5.4.

2、15,5.4.19,5.5.8-5.5.11,5.6.6,5.6.7,6.2.5(2),6.2.9的反例,6.3.3,6.3.5.Contents4度量空间34.1度量空间的基本概念...................................34.2线性空间上的范数.....................................54.3空间Lp...........................................84.4度量空间中的点集..............

3、.......................84.5连续映照..........................................124.6稠密性...........................................144.7完备性...........................................164.8不动点定理.........................................194.9致密集..................

4、.........................225有界线性算子255.1有界线性算子.......................................255.2连续线性泛函的表示及延拓...............................295.3共轭空间与共轭算子...................................355.4逆算子定理和共鸣定理..................................395.5线性算子的正则集与谱,不变子空间.

5、..........................4415.6关于全连续算子的谱分析.................................486Hilbert空间的几何学与算子516.1基本概念..........................................516.2投影定理..........................................546.3内积空间中的直交系...................................5824度量

6、空间4.1度量空间的基本概念习题4.1.2.在三位欧几里得空间考虑任一球面S.对于x;y2S,规定x;y间的距离d(x;y)是过x;y两点的大೚上以x;y为端点的ࡷ弧的弧长.证明d(x;y)是x;y间的距离,它不是欧几里得距离.如果用(x;y)表示欧几里得距离,那么(x;y)d(x;y)(x;y):2从而证明:S中点列fxng按距离d(x;y)收敛于x的充要条件是按坐标收敛于x.证明:由于欧式距离为连接两点的线段长度,自然d(x;y)不是欧式距离.假定该球面以a点为球心,半径为r,并记x

7、a;ya的夹角为:0.因此,d(x;y)=r;(x;y)=2rsin:2由于0,故2sin,因此成立22222(x;y)d(x;y)(x;y):2因而两者在S上生成的拓扑是等价的,故其收敛点列等价.□习题4.1.4.设(x;y)为空间R上的距离,证明(x;y)~(x;y)=1+(x;y)适合距离的条件1◦;2◦,并且按~收敛等价于按收敛.(x;y)证明:由于是距离,因此~(x;y)=0,并且~=0当且仅当(x;y)=0,1+

8、(x;y)即x=y.故1◦成立.对于2◦,由于函数f(x)=x在区间[0;+1)单调递增,故1+x(x;y)(x;z)+(z;y)(x;z)(z;y)~(x;y)=+=~(x;z)+~(z;y):1+(x;y)1+(x;z)+(z;y)1+(x;z)1+(z;y)假设fxng是R上一点列并.由于~(x;y)(x;y);故,若点列关于收敛,则必关于~收敛.另一方面,若点列关于~收敛于点x.则对于任意的ϵ<1,存在N使得~(xn