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《实变函数论及泛函分析课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.第一章习题参考解答3．等式成立的的充要条件是什么？解：若，则.即，.反过来,假设,因为.所以,.故,.最后证，事实上，,则且。若，则；若，则，故.从而,..即.反过来，若，则因为所以又因为，所以故另一方面，且，如果则；如果因为，所以故.则.从而于是，4．对于集合A，定义A的特征函数为，假设是一集列，证明：（i）（ii）证明：（i），，时，.所以，所以故..，有有，故，即=0，从而5．设为集列，，证明（i）互相正交（ii）证明：（i）；不妨设n>m，因为，又因为，所以，故，从而相互正交.（ii）因为，有，所以，
2、现在来证：当n=1时，；当时，有：则事实上，，则使得，令则，其中，当时，，从而，6．设是定义于E上的实函数，a为常数，证明：（i）=(ii)=证明：（i）且反过来，，使..即故所以故7．设是E上的实函数列，具有极限，证明对任意常数a都有：证明：，即，且因为，使，有，故所以=，由k的任意性：，反过来，对于，，有=，即时，有：且，所以，且.，故从而故=8．设是区间（a，b）上的单调递增的序列，即若有极限函数，证明：，证明：，即：且，因为所以，恒有：，从而，..反过来，，使，故，因此，且,即，，从而，10．证明：中坐
3、标为有理数的点是不可数的。证明：设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。现在证：可数，因为是可数个有理数集的并，故可数，又因为并且，所以可数故可数14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明：设Q为可数集，不妨记为：,令则为有限集（），则为正交可数集，即又因为，所以，故A是Q上一切有限子集的全体。15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：证明：因为{}两两不相交，所以，，故另一方面，若，我们取则，使得.特别的，当时，，当时：（从而，..这与矛盾，故从而16．若集A中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A
4、=，而每个指标在一个势为C的集中变化，则集A的势为C。证明：设在势为C的集合中变化，即A=因是既单又满的映射，定义,故得既单又满的映射,从而，从而17．设的势是C，证明至少有一个的势也是C。证明：因为，所以如果，则，即，正交可数，从而，正交可数.这与矛盾.故，,使.18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势证明：设，则记[0，1]上全体是函数所构成的集合为对于，定义函数,即是集合A的特征函数。..另一方面，，定义则，，则，所以，从而，20．证明：中孤立点集市有限或可数集证明：中，是的一些孤立点所构成的集合由定义
5、，，使得.现在令，则中任意二领域是不相交的事实上，若，有取，并且不失一般性设：，则.故，这推出，这与矛盾.，取一个有限点，则，当，,所以，故.E正交可数.19．设称为E的内点集，证明：是开集。证明：，因为x为E的内点，使得：，现在证：事实上，，取则，故，从而，，即中每个点都是得内点因此，为开集..21．假设是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的.令有限}，，作：,时，使得则：（1）上连续点的集合事实上，，取因，故有即，在点连续。（2）
6、，因有限，故使得，，故，有，从而，.现在证：是两两不相交的开区间集不妨设，如果，取则即，，这与矛盾，故A两两不相交，从而可数故至多可数。即，中第一类间断点至多可数。20．证明中孤立点集是至多可数集证明：设F是点集E中一些孤立点所构成的集合，有现在先证：是两两不相交的..事实上，，如果，则（不妨设），故,这与矛盾.所以，是两两不相交的.,取有理点，故，从而，22．证明：中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并.证明：设F是中的一个闭集，先证：，=
7、是R中的开集，其中，则，取，故事实上，，所以
8、是开集现在证：、事实上，，，所以.反过来，，有.故.,即.，使.所以.故，，这与矛盾.所以，从而.再来证：每个开集必是可数个闭集的并.事实上，若是开集，则是闭集.所以存在可数个开集，使得，所以.即是可数个闭区间集的并.23.假设是一列开区间，如果，证明是一个开区间..证明：，记，，其中，因为，所以可取现在我们证：因为，，故反过来，，即，当时，因为，所以，有.所以.如果，，使，故，从而24.设，是E的一个开覆盖，证明：中必存在至多可数个，使得.证明：不妨设中每一个元都是开区间.，存在，有，故有：端点的开区间，使得
9、.即，.又因为~所以可数.不妨设=，又记.其中，故25.已知：可数集，开区间列，，，覆盖了它，这里，从此覆盖中能否选出集的有限子覆盖.答：不能，证明如下：证明：（反正）如果，，使得（*），不妨设..，因为，，则.这与矛盾.所以（*）不真.26.设是一簇集合，如果，有，则称集合簇具有有限交性质.证明：如果是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么.证明：取，令，其中，，则是中开集.且，如果，
