实变函数和泛函分析基础课后答案

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1、1.A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).x∈(A∪(B∪C)).x∈A,x∈A∪B,x∈A∪C,x∈(A∪B)∩(A∪C).x∈B∩C,x∈A∪Bx∈A∪C,x∈(A∪B)∩(A∪C),A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C).x∈(A∪B)∩(A∪C).x∈A,x∈A∪(B∩C).x∈A,x∈A∪Bx∈A∪C,x∈Bx∈C,x∈B∩C,x∈A∪(B∩C),(A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C).A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).2.(1)A−B=A−(A∩B)=(A∪B)−B;(2)A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C);(3)(A−B)−C=

2、A−(B∪C);(4)A−(B−C)=(A−B)∪(A∩C);(5)(A−B)∩(C−D)=(A∩C)−(B∪D);(6)A−(A−B)=A∩B.(1)A−(A∩B)=A∩∁s(A∩B)=A∩(∁sA∪∁sB)=(A∩∁sA)∪(A∩∁sB)=A−B;(A∪B)−B=(A∪B)∩∁sB=(A∩∁sB)∪(B∩∁sB)=A−B;(2)(A∩B)−(A∩C)=(A∩B)∩∁s(A∩C)=(A∩B)∩(∁sA∪∁sC)=(A∩B∩∁sA)∪(A∩B∩∁sC)=A∩(B∩∁sC)=A∩(B−C);(3)(A−B)−C=(A∩∁sB)∩∁sC=A∩∁s(B∪C)=A−(B∪C)

3、;(4)A−(B−C)=A−(B∩∁sC)=A∩∁s(B∩∁sC)=A∩(∁sB∪C)=(A∩∁sB)∪(A∩C)=(A−B)∪(A∩C);(5)(A−B)∩(C−D)=(A∩∁sB)∩(C∩∁sD)=(A∩C)∩∁s(B∪D)=(A∩C)−(B∪D);(6)A−(A−B)=A∩∁s(A∩∁sB)=A∩(∁sA∪B)=A∩B.3.(A∪B)−C=(A−C)∪(B−C);A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C).(A∪B)−C=(A∪B)∩∁sC=(A∩∁sC)∪(B∩∁sC)=(A−C)∪(B−C);(A−B)∩(A−C)=(A∩∁sB)∩(A∩∁sC)=A∩∁sB

4、∩∁sC=A∩∁s(B∪C)=A−(B∪C).∞∞4.∁s(Ai)=∁sAi.i=1∞i=1∞x∈∁s(i=1Ai),x∈S,x∈i=1Ai,i,x∈Ai,x∈∁sAi,1∞∞∞x∈i=1∁sAi.∞x∈i=1∁sAi,∞∞i,x∈∁sAi,x∈S,x∈Ai,x∈S,x∈i=1Ai,x∈∁s(i=1Ai).∁s(i=1Ai)=i=1∁sAi.5.(1)(α∈ΛAα)−B=α∈Λ(Aα−B);(2)(α∈ΛAα)−B=α∈Λ(Aα−B).(1)α∈ΛAα−B=(α∈ΛAα)∩∁sB=α∈

5、Λ(Aα∩∁sB)=α∈Λ(Aα−B);(2)α∈ΛAα−B=(α∈ΛAα)∩∁sB=α∈Λ(Aα∩∁sB)=α∈Λ(Aα−B).n−16.{An}nnB1=A1,Bn=An−(ν=1Aν),n>1.{Bn}ν=1Aν=ν=1Bν,1≤n≤∞.i=j,i

6、i.x∈A1,inx∈Ain,in−1in−1nnnx∈i=1Aix∈Ain.x∈Ain−i=1Ai=Bin⊂i=1Bi.i=1Ai=i=1Bi.7.A2n−1=0,n1,A2n=(0,n),n=1,2,···,n→∞An=(0,∞);{An}Nx∈(0,∞),N,xNAn,0N,x∈An.2n−1>Nx∈A2n−1,0

7、8.limAn=n→∞n=1m=nAm.∞∞∞x∈n→∞An,N,n>N,x∈An,x∈m=n+1Am⊂n=1m=nAm,∞∞∞∞∞n→∞An⊂n=1m=nAm.x∈n=1m=nAm,n,x∈m=nAm,m≥n,x∈An,x∈n→∞An.limAn=∞∞Am.n→∞n=1m=n2limx∈A2n,limlimlimlimlimn.limlimlimlim9.(−1,1)(−∞,+∞)(−∞,∞)ϕ:(−1,1)→(−∞,+∞).x∈(−1,1),ϕ(x)=tanπ2x.ϕ(−1