《概率论与数理统计》第4-7 章自测题讲评

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1、《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征4⎧5x0≤x≤11.设随机变量X的密度函数f(x)=⎨,求数学期望EX。⎩0其他+∞【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX=∫xf(x)dx。-∞+∞1x5155[解]：EX=∫xf(x)dx=5∫xdx=5[]=-∞06062.设随机变量X～N(-1，3)，Y～N(0，5)，Cov(X,Y)=0.4，求D(X+Y)的值。22【讲评】考点：正态分布N(μ,σ)的数字特征，EX=μ，DX=σ。和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)。[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,

2、Y)=3+5+2×0.4=8.8-3y⎧0.5，1≤x≤3⎧3e，y>03.设随机变量X和Y的密度函数分别为fX(x)=⎨，fY(y)=⎨，⎩0，其它⎩0，y≤0若X，Y相互独立，求：E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，a+b1X~U[a,b]⇒EX=。X~exp(λ)⇒EX=。2λ若X与Y相互独立，则E(XY)=EXEY。1+3本题：注意：X~U[1,3],Y~Exp(3)⇒EX==1,EY=1/3，2因为X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3)=1/34.设X服从参数为λ的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是

3、错误的。1E(X)222DX=,=1,E(X)=E(X)[E(X)+1],E(X)=λ,E(X-λ)=0,EX=λ+λλD(X)【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ,DX=λ。22222及DX=E(X-EX)=EX–(EX),EX=DX+(EX)22本题：X~P(λ)⇒EX=λ,DX=λ,EX=λ+λ.E(X)22所以=1，E(X)=λ＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X)=λ，D(X)12但是DX=,E(X-λ)=0,这两个是错误等式。λ222222改为正确的是DX=λ,及E(X-λ)=E(X)-2E(λX)+E(λ)=λ+λ-2λ+λ=λ

4、⎡X╲Y12⎤5．设随机变量的联合分布律为⎢01/41/12⎥⎣21/61/2⎦求：(1)E(X),E(Y)；(2)D(X),D(Y)；(3)ρxy。【讲评】考点：已知二维离散型随机变量的分布律，求X,Y的数字特征EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),ρXY。⎡02⎤⎡12⎤[解]:边缘分布X~⎣⎦,Y~⎣⎦,1/32/35/127/12(1)E(X)=0×(1/3)+2×(2/3)=4/3,E(Y)=1×(5/12)+2×(7/12)=19/12;222222(2)E(X)=0×(1/3)+2×(2/3)=8/3,⇒D(X)=E(X)–(EX)=8/3–(4/

5、3)=8/9;22222E(Y)=1×(5/12)+2×(7/12)=33/12⇒D(Y)=E(Y)–(EY)=33/12–381/144=15/144=5/48;1(3)E(XY)=2×1×(1/6)+2×2×(1/2)=7/3⇒Cov(X,Y)=7/3–(4/3)(19/12)=2/92/9230ρxy==.8/915/14415⎡X╲Y013⎤6．设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为⎢00.10.20.1⎥，求(1)E(XY);(2)Cov(X,Y)。⎣10.20.40⎦试问：X与Y是否相互独立？为什么？【讲评】考点：已知二维离散型随机变量的分布律，求X,

6、Y的数字特征EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),ρXY。二维独立性的判断。[解]：(1)E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.2+0×3×0.1+1×0×0.2+1×1×0.4+1×3×0=0.4；(2)因为EX=0×0.4+1×0.6=0.6EY=0×0.2+1×0.6+3×0.1=0.9所以Cov(X,Y)=E(XY)–(EX)(EY)=0.4–0.6×0.9=-0.14。当然X与Y不相互独立，(因为E(XY)≠(EX)(EY))7.设随机变量X的分布律为⎡X-2012⎤.记Y=X2，⎣P0.20.30.40.1⎦求：(1)D(X)，D(Y)；(2)C

7、ov(X,Y),ρxy.[解]：(1)E(X)=-2×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=0.2,22222E(Y)=E(X)=(-2)×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=1.6244444E(Y)=E(X)=(-2)×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=5.2,33333E(XY)=E(X)=(-2)×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=-0.4,222⇒D(X)=E(X)-(EX)=1.6–0.2=1.56;222D(Y)=E(Y)-(EY)=5.2–1.6=2.64;(2)Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=-