概率论与数理统计第3章

《概率论与数理统计第3章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章多维随机向量及其概率分布3.1随机向量及其联合分布函数3.3随机向量的独立性3.2二维离散型和连续型随机向量3.4随机向量的函数及其概率分布3.1随机向量及其联合分布函数一、多维随机向量定义1.上的,其中,,,21个随机变量间是定义在同一个样本空设nXXXnWL,则称n维以后除非特别声明，一般只讨论二维随机向量同样，从右边的图中，不难得到实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说

2、明实例3X,Y,Z都是随机变量，则称(X,Y,Z)是三维随机向量.在三维空间中，飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标X,Y,Z）来确定的.二、随机向量联合分布函数的性质不难验证其具有如下性质定义2.三、随机向量的边缘分布函数设边缘分布函数也称为边际分布函数或边沿分布函数3.2二维随机离散型和连续型随机向量1为讨论方便，仍然只分离散型和连续型两大类一、二维离散型随机向量的联合概率分布定义1.若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.设X的所有可能取值为Y的所有可能取值为则称为二维随机向量(X,Y)的联合概率函数或联合概率

3、分布联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质:二维离散型随机向量的联合分布函数为例1一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球若进行不放回取球例2一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取求两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为思考将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?二、二维离散型随机向量的边缘概率分布若(X,Y)为二维离散型随机向量X的所有可能取值为Y的所有可能取值为联合概率函数为则分别称离散型随机变量的边缘分布列可以在联合分布列的基础上增加，即

4、也可以将X,Y分开后分别表示，即例3.在本节例1.中本节例2.的边缘分布也是一样解例4由乘法公式得解下面求边缘分布若随机向量具有如下的多元分布列其中，，，则称随机向量服从多项分布。两个常用的离散型多元分布（一）多项分布若随机向量具有如下的多元分布列其中，为自然数，则称随机向量服从多元超几何分布。（二）多元超几何分布三、二维连续型随机向量的联合概率分布定义2.二维随机变量的联合密度函数具有以下性质从而用联合密度函数的图形分析以上性质设随机向量(X,Y)具有联合密度解例4设二维随机变量(X,Y)具有概率密度解：例5四、二维连续型随机向量的边缘概率分布与离散型随机向量一样，X,

5、Y也是单个的随机变量3.2二维随机离散型和连续型随机向量2从上面的分析不难得到X和Y的密度函数为例6求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为解边缘分布函数分别为边缘密度函数为例7求随机向量(X,Y)的边缘密度函数，已知其联合密度函数为解由边缘密度函数和联合密度函数的关系可知所以同理1.均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.两个常用的分布例8已知随机向量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形

6、区域.解所以(X,Y)的分布函数为练习设(X,Y)在圆域D={(x,y)

7、x2+y2r2}上服从均匀分布.(1)判断X与Y是否相互独立.解x2+y2=r2x2+y2=r2x2+y2=r2x2+y2=r2(2)2.二维正态分布若二维随机向量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的联合密度函数的图象如右图:二维正态分布随机向量的边缘分布均是正态分布例9解由于于是则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答练习设有概率密度（1）试验证符合概率密度的两个性质；（2）

8、试求和的边际密度。解（1）显然，因为和都是分布的密度，所以根据一元密度的性质，有又由于和都是奇函数，从而故而（2）同理有所以和　都服从分布。作业P89练习3.21233.3随机变量的独立性定义1.否则称不相互独立或相依对于离散型随机变量和连续型随机变量也分别有定理1.即显然例1.一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球如果进行无放回取球,X和Y是否独立?若进行不放回取球在有放回取球中,第二次取的球的颜色不受第一次取球结果的影响,故X和Y相互独立,而在不放回取球中,第二次取到球的颜色当然受第一次取球结果的影响,故X和Y不相互