无单元法与其在薄板大挠度稳定问题中的应用

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1、青岛理工大学工学硕士学位论文将这种插值函数应用于边值问题的求解。它有着传统方法不可替代的突出优点，以其新颖的数值思想、先进的数值技术，近年来发展迅速，得到了国际计算力学界的初步认可和广泛关注。无单元法是无网格方法(freemeshmethod，FMM)的一种，其思想最早由Nayroles，etal[9】于1992年提出，称之为扩散单元法(diffuseelememmethod，DEM)。其后，各种各样形式的无单元法如雨后春笋般涌现出来，至今已经出现了lO多种形式。它们是：(1)扩散单元法；(2)无单元伽辽金法[10,11,12,13I(theelemem．freeGa

2、lerkinmethod，EFGM)；(3)无网格局部伽辽金法【。4】(meshlesslocalpetrov-Galerkinmethod，MLPGM)：(4)小波伽辽金法【15】(wavelet-Galerkinmethod，WGM)；(5)再生核质点法[161(reproducingkemelparticlemethod，RKPM)；(6)小波质点法㈣(waveletparticlemethod，WPM)：(7)移动最小二乘积分核法BS](movingleast-squarereproducingkernelmethod，MLSRKM)；(8)单位分解法[191

3、(partitionofunitymethod，PUM)：(9)有限点法【20】(finitepohatmethod，FPM)：00)无单元流形法口11(manifoldmethod，MM)；01)自然单元法阱1(naturalelementmethod,NEM)；∞有限覆盖无单元法m】(finite．coverelemem．freemethod，FCEFM)。这些方法的共同点是：摆脱了单元的束缚，采用结点信息及其局部支撑域上的权函数实行局部精确逼近，然后通过配点法或伽辽金法对偏微分方程求解。目前流行的无单元法是无单元Galerkin法(如DEM，EFGM，MLPGM

4、，RKPM，MLSRKM，MSRKPM，Pu讧)，它以移动最小二乘法构造插值基函数，从微分方程的弱变分形式原理出发，导出求解问题的代数方程。这类方法的特点是求解精度较高，但计算量大，需要“背景网格”(backgroundcell)作为数值积分的积分域。另一类是基于配点型的无单元法，它以径向基函数来逼近场函数，直接在离散点上满足微分方程或边界条件，建立求解问题的代数方程。无单元法主要依靠形函数逼近来实现，形函数揭示了各种方法的逼近本质，按形函数逼近方式不同可分为三类[241：移动最小二乘逼近类，这类有DEM，EFGM等；积分核近似估计类，这类有RKPM，MLSRKM等；

5、单位分解类，这类有PUM等。这种分类方法不仅清楚的区分了上述方法的逼近属性，而且找到了它们之间的内在联系，如最小二乘逼近(MLS)可以组成单位分解函数，MLS的权函数与积分核函数可以一致起来，这样的内在联系将会使各种方法相互结合，形成广阔的发展空间。3青岛理工大学工学硕士学位论文1．3无单元法国内外发展概况无单元法出现以来的迅速发展，得益于国际计算力学界的高度重视。在这方面所做的大量研究，尤以美国西北大学工程力学系Belytschko等人最为活跃。尽管无单元法的思想自1992年才出现，但作为无单元法数学基础的移动最d,-乘法很早就有人提出了。Mclainl251于19

6、71年提出根据曲面上有效点的已知高度，通过移动最d,-乘法来模拟整个曲面。1981年Lancasterl26]也利用移动最小二乘法来获得连续光滑的近似曲面。因此，在无单元法出现以前，移动最小二乘法主要用于曲面拟合领域。Nayroles，etal[91等人于1992年首次将移动最小二乘法运用于边值问题的求解，提出了扩散单元法(DEM)。但Nayroles的近似比较简单，在拟合函数的偏导中省略了一项，而且边界条件的引入也不正确，计算比较粗糙，没能通过分片试验，但这是第一次将移动最小二乘法的思想引入偏微分方程的数值计算中。Belytschko，etalt271于1994年对

7、Nayroles的方法作了改进，提出了无单元伽辽金法(EFGM)。他在以下方面作了改进：(1)提出了一种独立于节点的网格结构积分。(2)在拟合函数的偏导数中加入被Naroles忽略的项。(3)采用拉格朗日乘子法“”引入边界条件。这种改进的方法通过了分片试验，并在一悬臂梁算例中取得了理想的结果。但是，Belytschko的方法中也存在不足：1．计算复杂，且容易造成较大误差；2．用拉格朗日算子引入边界条件后，增加了未知量，并引入了零对角元素，破坏了刚度矩阵的正定性。增加了刚度矩阵求解的时间和难度。针对上述不足，LuYY，etal【28】又将无单元伽辽金法