样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用

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1、样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用第27卷第2期2007年5月桂林工学院JournalofGuilinUniversityofTechnologyV01.27No.2May2007文章编号:1006—544X(2007)02-0190-05样条无单元法在薄板弹性稳定分析中的应用李秀梅,秦荣,王涛(广西大学土木建筑工程学院,南宁530004)摘要:以变分原理和三次B样条函数为基础,推导出样条无单元法分

2、析薄板弹性稳定问题的具体计算格式,并编制了相应的计算程序.该方法适用于不同边界条件的薄板在各种纵向荷载作用下的弹性稳定分析,计算结果表明,本方法适应性强,精度较高,用较少的结点离散就能获得较好的结果.关键词:薄板;稳定;无单元法;样条函数;变分原理中图分类号:TU311.4文献标志码:A薄板的稳定问题一直是工程界比较关注的问题.将工程界应用最为广泛的有限单元法用于解决该问题时,根据收敛性准则,位移插值函数要满足c类连续性,这给单元的构造带来相当大的困难.许多学者致力于矩形,三角形,四边形的非协调元的建立以及如何提高其精度的研究,近年来发展起来的薄板弯曲系列的广义协调元获得了较高的精度].但

3、以上单元的构造要比c.型的单元复杂很多.无单元法是近些年发展起来的一种新的数值方法,在求解的全域内由一些离散点构造光滑场函数,可得到连续可导的近似解J.本文采用样条无单元法对薄板的弹性稳定性问题进行分析,采用三次B样条函数的乘积的线性组合构造位移插值函数,在和Y方向均采用三次B样条函数,利用变分原理建立了薄板弹性稳定的刚度方程,通过广义最小特征值问题的求解得到稳定的临界荷载.本文推导了用样条无单元法求解薄板弹性稳定问题的计算格式,并用c语言编制了相应的计算程序,对不同边界条件的薄板稳定性计算结果表明,本文介绍的方法适应性强,程序设计简单,精度高,只需记录样条结点的分划信息,无需单元离散,用

4、较少的结点离散就能得到较好的结果.与有限元法相比,样条无单元法具有如下优点:充分发挥了样条函数的紧凑,高精度的优点,同时也避免了大量的单元网格划分工作,克服了有限元方法中由于场函数的局部化近似所引起的误差,场函数及其梯度在整个求解域内是连续的,无需寻求光滑梯度场的后处理过程.1位移插值函数如图1所示的弹性薄板,0≤≤a,0≤Y≤b.如果在板的区域内沿方向和Y方向分别作均匀分划,即离散为(+1)×(Ⅳ+1)个样条结点..=0+ih,h=a/N,i=0,1,2,…,J7v;y=Yo+jh,h=b/M,=o,l,2,…,薄板的挠度函数可采用三次样条函数乘积的线性组合:M●:32lO图1样条结点离

5、散Fig.1Dispersedsplineknots收稿日期:2006一o6—23这对程序中处理板的边界条件是非常方便的,如=0边简支,只需划掉其对应的样条结点参数c-l’.-ll0,…c-ll;如=0边固定,只需划掉其对应的样条结点参数.-llc-ll0,…._l’,c0,-l’c0.o,…c0.,也可以修正刚度方程,保证相应的位移参数为0即可,在程序中都很容易处理.对于(),)只需把()中的(x/h一i)改为(x/h一J),N改为即可.[O(Y)]o[()]为矩阵[(),)]与[()]的Kronecker乘积,即矩阵的直接乘积,结果为(N+3)X(M+3)阶方阵.上述方法推广到斜板及任

6、意四边形薄板,只是在集成总刚矩阵时要进行坐标变换,也可以采用非均匀的样条离散,但选取的样条基函数及总刚矩阵的集成要复杂些,具体操作参见文献[6].2弹性薄板的总势能泛函及刚度方程如果薄板在横向分布荷载q(,Y)的作用下,纵向荷载引起的薄膜力(图2)为:=t,Ny=t,N=t其中t为板厚.不考虑边界的初始位移,则薄板的总势能泛函为1.d1dbdbn=寺d),+寺JDJDⅣd),一JDJDg(,y)wdxdy?(3)式中:D为薄板的弹性矩阵,其具体值可参照弹性力学.,lg为薄板的曲率向量,为薄板的转角向量,Ⅳ为纵向荷载向量,具体表达式为Nv,,,,,,,,,,图2承受面内荷载的薄板Fig.2L

7、ongitudinalloadsubjectedptate={一02w一02w一02w_)=[曰]tc},=(Ow):[t21tc}v--.i一一一a),jLJ,ij.式中:B:『-二i],ct2:【L)]]J;JL式中:[]=l一[“(),)]o[()]l,[]=l,,::,1.一2[(Y)]o[()]J一～一(4)如果板的纵向荷载按一定的比例施加,即::mPo,=尸0,=.Ⅳp0[?㈣式中:tO,=1,=0,=0,单