关于证券中随机价格模型的期权定价与统计研究

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1、Black和Seholes通过严密的数学推导和论证，在无套利机会、没有交易费用等一系列理想的假设下，推导出标的资产为不付红利股票的欧式看涨期权在时刻t的价格C(s，亡)所必须满足的微分方程即后来所说的B—S方程．金融数学作为一门边缘学科，应用大量的数学理论和方法研究，解决金融中一些重大理论问题，实际应用问题和一些金融创新的定价问题等，由于金融问题的复杂性，所用到的数学知识，除基础知识外，大量的运用现代数学理论和方法．目前从事金融数学研究的主要有如下三类人：概率论和随机分析学者，随机控制论学者和数理统计学者．近年来，一些从事统计物理和非线性科学研究

2、的学者也被吸引到经济和金融领域．他们将本学科的研究方法移植到经济系统和金融复杂性的研究中来，尝试揭示金融市场这一复杂系统的演变规律．他们新近提出了“经济物理学"这一新概念．2．1．2研究目的经过查阅大量的参考文献，了解到目前国内外利用渗流理论研究股票价格的波动仅做过数据模拟的相关工作，而建立股票价格模型并进行理论推导证明其收敛性的研究具有很大的理论和应用价值，因此本文期望构造更加符合股票价格波动过程的随机模型，并证明它收敛到某一个Black．Scholes公式，也即模型具有合理性．同时根据Ising模型构造证券成交量模型，对证券市场的统计特征量用

3、实际数据进行拟合，用以研究国内证券市场的一些统计特征，对证券市场价格走势的预测提供依据．2．1．3本文所做的工作对于股票价格过程的研究是金融数学研究的内容之一，随着证券市场的不断发展和完善，越来越多的人用一些新的数学工具来对股票价格进分析和研究．渗流理论是概率论的一个重要分支，它多用于统计物理学中，由于渗流模型所研究的粒子之间的相互作用与股票市场上的投资人之间的互相影响有相通之处，而投资人之间的相互影响又是影响股票价格的关键因素，因此我们将应用渗流理论来刻画股价的波动，建立相应的模型并用特征函数的性质证明模型的收3敛性．在股票市场中，由于Brow

4、n运动轨道的连续性，价格不存在向上或向下的不连续的跳跃，但在实际问题中，由于突发事件的原因，如战争，政治，政权和经济等原因，会导致在某一时刻价格会有跳跃，即价格发生剧烈的震荡，而通常情况下的股票价格波动模型一般没有反映突发事件导致的跳跃。为解决这个问题，我们将在泊松分布和渗流理论【1-4】构造的股价波动模型中加入随机跳跃因素来构造新的价格模型(尖峰价格模型【5】)，期望新的模型可以更好的反映股票价格的波动．此外，在证券市场中多种投资因素通过成交量导致证券价格的波动，本文还将研究成交量模型的统计特征，以得出成交量模型更贴近真实市场成交量的波动规律．

5、2．2模型构造的理论基础2．2．1渗流理论考虑d维空间Zd，Zd是向量工=(‘，艺9o-,，而)的集合，在这里d≥1，对于石∈Zd，我ffJk2x,为工的第i个坐标．d定义1．18(x，y)=∑Ix,一以I为x至：lJy的距离．定义1．28(o，x)=lxl为原点到x的距离．通过在6(x，y)=1，即两点z，Y的距离为1的一对点上加上边后，Zd可以看成一个d维的立体格点图，并记为∥，所有边记为Ed，∥=(7-dEd)．定义1．3如果万(五J，)=1，则称两点x，Y为连通的，记为(z，Y)．接下来，介绍传播概率．对于P，q满足0

6、，∥中所有边以概率p为开的，以g为闭的，且各边是相互独立的．取Q=1-I。。∥{o，1)其中样本点记为缈=(缈(P)：P∈∥)，则有缈(e)=0代表e是闭的，re(e)=l代表e是开的．把F记为Q的子集生成的tit代数，P为(Q，F)上的测度，Npp=兀tz,，这里以是{o，1)上的Bernoulli测度，且4有以(∞(g)=o)=g，以(∞(力=1)=p．根据边的不同，对于每条边P的概率空间(Q，F，砟)，这里pp=1-I版，且有版(国(g)=o)=g(P)，段(彩(e)=1)=p(e)．PE∥定义1．4Xo，eo，‘，el⋯，乞巾‘是不同的顶

7、点五，弓构成的序列，满足q=(五，‘+。)，则称为而到‘的一条路径，其长度为九．考虑∥的一个部分中的边和顶点，图中相通的部分称为一个开串，c(z)为包含x的一个开串，fc(工)f为串上点的个数．定义1．5Ic(功I=00，称渗流发生．定义1．69(p)=砟(1cl=oo)称为边渗流的渗流概率．引理1．1存在Pc，满足0o，劫>Pc这里见称为边渗流的临界点。定义1．7Pc=sup妇：秒(力=∞在应用于实际物理模型中还有连续渗流和格点渗流等，下面做一下简单的介绍．首先，介绍连续渗流的有关概念：设(Q，F

8、，D为一个概率空间，考虑二维实数空间R2，用B2表示R2中的Borel集的17"代数，用Ⅳ表示B2上所有计数测度的集合，用它把有限测度对