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《第五章常微方程初值问题2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五章常微方程初值问题数值微分我们讨论y=/（x）的导数问题。实际计算及讨论函数在具体某点的导数值。我们自然想到微积分中的导数定义:/*(x0)=lim/?-»()/(无0+/2)-/(兀0)h用/（兀+力-于（兀。）作为广（兀）的近似。h理论上这种近似，h越小越好，但实际计算相近的数相减会损失有效数字，实际计算中要注意这些问题。二阶导数的三点公式：小。）4（宁-譽）詁仇f+旳）hhhh心）弓宁"一竽）诂仇f+%）精度高一个量级往往利用插值方法先求出插值函数，在对函数求导，用之代替原函数的导数。数值
2、积分我们也曾这样做。本章我们主要解决初值问题的数值解法。即:ax数值解就是要求出在兀1=兀0+h.兀2=兀0+2h,兀3=兀0+3人…，Xn=X0+nh一系列点上的近似值假设/（x）在所讨论问题中连续。由Leibniz公式（或对方程积分）有:V（£+i）=y（^）+f（x,y）dx依据上式可得到不同的数值解法。§1欧拉法和改进欧拉法、预估-校正法由（兀+i）=y（xi）+广/（兀,y皿Jxib积分可用JfMdx=f（a）（b-a）左矩形公式，得:》（£+J=V（益）+h/（£，儿）显式b用=/（/?
3、）（/?-6Z）右矩形公式，得:yg+J=y（暫）+hf（xn+],儿+j隐式hy（&+J=yM+-[/（£，儿）+/（£+i，儿+i）1改进欧拉公式精度比上两个高一个量级。隐式和改进欧拉法都是一个方程。如果方程解时比较复杂，则用迭代发近似求解。先用显式欧拉公式计算初值，再用改进欧拉公式迭代求解。（数学证明当©在所讨论的范围有界在h取得很小时，这种迭代收敛〉。dy公式为：*=儿+方f（Xn，几）=儿+%fnhyT=儿+-tfn+g用）]"o,i,2,・・.程序结构:孚=/(兀,y)鼻=%F(x,y)
4、二Y*YWRIT玖*,*)'INPUTX0,Y0‘READ(*,*)XO,YOWRITER,*)'INPUT[xO,b]B‘READ(*,*)BWRIT玖*,*)'INPUTh'READ(*,*)hY=Y0FO=F(XO,YO)DO100X=X0,B,HKl=K2=K3=K4=Y=Y+Y=Y0+H*F0DO200K=l,10Y=Y0+H/2.0*(F0+F(X,Y))200CONTINUEWRITE(*,*)X+h,Y,1.0/(1-X-h)Y0=YF0=F(X,Y)100CONTINUESTOPE
5、ND注意：所计算的范围必须是从X0到某值B。因为是逐点递推的。当计算范围为[B,X0]时，步长h取负值。作业：数值解初值问题：^=y2y=1dxlA=()用改进公式解方程，并和精确解y二丄作图比较。—X注意：本题中X的取值范围不能接近1,为什么？将方程换成^=yy=1,精确解为计算卜2,2］间曲线dxA=o将方程换成^=yxy=1,精确解为）=严”计算卜2,2］间曲线dxe72xdx^y-Q=>y=exp（—）22改进欧拉法在判断迭代收敛时堂很不好求（为什么？未知！）。dy往往计算中用预估-
6、校正法，公式如下：人+1=儿+力/（£+几）左矩形预估儿+iQ+严儿+心（£,臨1）右矩形h几+i=几+㊁"g'儿）+兀心'％J］h=儿+-【/（暫，几）+/（£+】，儿+hg,几））］校正h二儿+二（即+G+Jhy（£+J=x^）+-［/（暫，儿）+/（£+】,yn+l）］曲）=yn+级+g，此）］n,2,…§2龙格-库塔法（Runge-Kutta）欧拉法计算简单，精度不高。预估校正法可写为：h儿+i=儿+3MX，儿）+/（&+】，儿+町区,儿））］二儿+£［&+©］K2=/（£+1，儿+hf（X
7、n，儿））］=/（£+1，儿+力KJ］将上式加以推广几+1=几+"匕&+:©]K]=.f（£,y”）**K2=/（兀+a2h,yn+a2hK^]c}.c2.a2为待定系数，当q=C2=l/2，希=1时就是预估-校正法。我们现在要选取上面的三个系数，使得上式的误差为0（胪）。字=f（x,y）我们将y（£+J在耳展开：
8、=儿y（£+i）=yM+hy*（xj+*h2yXxn）+0（A3）****其中：yG）=/（x,yCr））y"（兀）=fx（兀,y（%））+fy（兀,y（兀））y'（兀）=£（兀,y（兀
9、））+厶（%,y（兀））/（兀,y（兀））=fx+fyf另一方面，将**式中的£在已知点（£,儿）展开©=/（兀，儿）+/“2/2+九矽％+0（心二元函数展开带入**式得：下标x,y表示偏导数，n表示在（暫，儿）点。儿+i=儿+hC[fn+c2h[f（xn，儿）+fxa2h+fya2hK{]+0（忙）=yn+hcjn+hc2fn+c2fxa2h2+C2fya2h2fn+0（h3）=yn+h（q+C2）fn+h2c2a2（fx+fyf+0（h3）=yn+h（c,+c2
