3.1 一维波动方程初值问题

《3.1 一维波动方程初值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Autumn2013Instructor:Y.Huangylhuang@nuist.edu.cnRoom721,ShangxianBuildingSchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquations§3.1一维波动方程初值问题无界弦的自由振动波的传播无界弦的受迫振动和齐次化原理半界弦的振动和延拓法端点固定的有界弦的振动解的先验估计1.一维波动方程初值问题基本思路：无界弦的自由振动()：经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解，代入初始条件得特解（达朗贝尔公式）；无界弦的受迫振动()：由叠加原理分解为：齐次问题+

2、零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解）；半界弦的振动()：以某种方式延拓f及初始函数，转成无界弦的振动问题，求出解后限制在半界区域上。1.1无界弦的自由振动在弦的微小横振动问题中，如果弦未受到任何外力作用，而且只研究其中的一小段，那么在不太长的时间里，两端的影响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”，则可提出如下定解问题其中分别表示初始位移和初始速度。(1)泛定方程的通解由泛定方程可得其特征方程为即特征线满足方程故特征线为作变换则代入泛定方程可得标准型两边依次关于积分，得通解其中F,G为两个可微的任意单变量函数。代回原变量，得泛定方程通解(2)定解问题的特解——达朗贝尔公式

3、利用初始条件来确定通解中的任意函数F和G：则其中为任意一点，c为常数。故有则得初值问题特解称为达朗贝尔公式(D’Alembert),或无界弦的自由振动问题的达朗贝尔解.例1.求解初值问题解.此时，故由D’Alembert公式有注：有些例子虽然不能直接应用由D’Alembert公式，但可利用与推导D’Alembert公式相同的方法求解。例2.求解初值问题解.泛定方程的特征方程为即特征线满足方程故特征线为作变换则原方程可化为其通解为即故有即所以可得初值问题的特解为利用初始条件可得例3.求解有阻尼的波动方程的初值问题解.泛定方程含有阻尼项，不能直接用D’Alembert公式，但可将阻尼作用表

4、示为其解中带一个随时间成指数衰减的因子。即令为待定常数，于是有代入泛定方程得取原定解问题化为由D’Alembert公式可得从而原问题的解为注：当时，由D’Alembert公式(3.3)定义的函数u(x,t)称为初值问题(3.1)的古典解。当不满足该条件时，由公式(3.3)定义的函数u(x,t)常称为初值问题(3.1)的广义解。(3)达朗贝尔解的适定性Th3.1假设，则对任意给定的T>0，初值问题(3.1)的D’Alembert解在区域上是适定的。证.从D’Alembert公式的推导可见，只要，D’Alembert解是满足初值问题(3.1)的，即D’Alembert解是存在的。唯一性.若

5、有具有相同的初始条件，则满足零初始条件下的初值问题(3.1)(即取)，进而由D’Alembert公式可得稳定性.设有两组初始条件且它们相差很小事实上，由D’Alembert公式，有只要记表示相应于这两组初始条件的解，要证：在有限的时间内，当初始条件有了微小改变时，其解也只有微小改变。例4.求解初值问题其中解.此时下求广义解。由D’Alembert公式，有计算可得其解的具体情况如下：(1)当时，有(2)当时，有(3)当时，有注：例4中的因此D’Alembert解u(x,t)不是一个古典解，仅是形式解。1.2波的传播(1)达朗贝尔解的物理意义为方便起见，记显然都是方程的解，且首先考察给定t

6、的不同值，就得到弦在各时刻的振动状态。当t=0时，对应的是初始状态；因时间段内波形右移了距离了故a为波移动的速度。这种形如的解所描述的弦振动规律称为右传播波或右行波。经时间之后，表明在(x,u)平面上时刻的波形相对于初始时刻的波形向右平移了距离随着时间的推移，波形继续向右移动，而形状保持不变。因此，D’Alembert解(3.3)表明初值问题(3.1)的解是由和确定的左、右行波的叠加(其中是的一个原函数)。这就是D’Alembert解(3.3)的物理意义。这种构造解的方法称为行波法。类似地，保持波形F(x)以速度a向左移动，称为左传播波或左行波。注：行波法基于波动的特点，引入了坐标变换

7、简化方程；优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；缺点：通解不易求，有局限性。由D’Alembert公式得例5.（初始位移引起的波动）一根无限长弦的初始位移为从静止开始运动，求其在任意时刻的位移。解.定解问题为例6.（初始速度引起的波动）一根无限长弦的初始位移为0,以初始速度开始振动，求其在任意时刻的位移。解.定解问题为其中由D’Alembert公式得其中(2)依赖区域、决定区域、影响区域由D’Alembert公式可知，初值问题的解u在点