a行波法求解维波动方程的初值问题—半无界问题

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1、行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题行波法求解一维波动方程的两个基本公式：1.达朗贝尔（d'Alembert）公式：；2.Kirchhoff公式：半无界弦的振动问题对于半无界域上波动方程初值问题的讨论，需要根据端点所处的物理状态不同分别加以讨论。1.端点固定（1）齐次端点条件考虑定解问题求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数使其在也有定义，这样把半无界区域上的问题转变为上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式，求出在上的解。同时使此解满足。这样当限制在上就是我们所要求的半无界区域上的解。由微积分

2、知识可知，如果一个连续可微函数在上是奇函数，则必有。因此，要使解满足，只要是的奇函数便可。因此对函数关于作奇延拓。我们定义如下：显然函数上是奇函数。然后考虑初值问题由Krichhoff公式，上述初值问题的解为所以原定解问题的解上的限制。于是当时当时，9例题1.求定解问题解：该题中奇延拓到即定义所以根据公式1）当2）当9（2）非齐次端点条件如果定解问题（1）的端点条件为:，即：解法一：将其端点条件转化为其次形式：令V（x,t）=u(x,t)-u(t),那么满足求解.其中解法二：设分别满足：及对于,可按端

3、点的半无界问题求解，对于的半无界问题，由给出的定结条件知，此弦振动是单纯由端点的振动规律引起的因此，在部分，弦振动应按右行波传播，故可设解这里F是任意可微函数，代入边界条件得若令,得于是得到于是得解所以将与相加.所以9例题2.解：f(x,t)=所以根据公式1）当2）当例题3解下列问题的初边值问题：解：解法一：令则：①当时：9②当时：故：=解法二：1）当t即t2）当t>例题4求下列问题的初边值问题：对于此类问题，依然可以运用两种方法解答：解法一：令则：v(x,t)满足：则：①当9故：②当故：解法二：根据

4、推导公式：本题中，1）当2）当时2.端点自由：（1）下面考虑端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解问题：9类似地，因为，我们对函数关于作偶延拓。定义如下：函数,在上是偶函数。我们考虑初值问题其解为：所以所求定解问题的解就是在上的限制。所以，当时，当时，例题5：求解解：该题为半元界弦振动问题端点自由情况下的齐次问题，可直接运用公式：其中）1）当时，92）当时，（2）如果端点自由的定解问题中的边界条件为，即：采用类似地处理方法，令则满足，此时再利用半元界弦振动问题端点，自由情况下的求解公式求解即可。例6：，

5、解：本题中，1)当时92）当时9