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1、2湘潭师范学院学报(自然科学版)V.O.第25卷第期OI25N2236月JlofXiralUraliUn.(X)年ourna朗以即NOmUnivers勺(N献SCe以泊Ed沈加)J么刃3VC实现常微分方程初值问题求解李晓霞(广州大学计算机教育软件研究所,广东广州沙如551):,、一摘要论述了以计算机为辅助计算工具在VC编程环境下分别使用欧拉算法改进欧拉算法以及经典龙格库塔算。法对常微分方程的初值问题进行数值求解的实现算法关键词:欧;龙格一;;数值解;误差拉算法库塔算法精确解中图分类号:0241.81文献标识码:A文
2、章编号:1671一0231(2(X)3)巴一侧又8一以,、,在工程计算中我们经常要解一些常微分方程如采用常规的人工推导求解无疑是效率非常低下的,。而且工程上的常微分方程往往结构非常复杂要给出一般方程解的表达式也是非常困难的实际上到目,,前为止我们只能对有限的几种特殊类型的方程求精确解对那些不能用初等函数来表达的方程就只能去,,求其近似的数值解而且这样可以借助于运算速度快的计算机来进行辅助求解大大提高求解的速度和精,。,1度修改也比较灵活[l,l使用欧拉算法及其改进算法进行一般求解欧拉(Euler)算法是数值求解中最
3、基本、最简单的算法,但其求解精度较低,一般不在工程中单独进行。。:计算其实现的依据是用向前差商来近似代替导数例如对于常微分方程,,,dy/dx二二y二任〔abf()〕少(a)=了0,,‘,,可以将区间仁a乙丁分成。段那么方程在第、〔i〕点有y(x〔i])=f(x[i]y(x〔i]))再用向前差商近似,,代替导数则为:(y〔i+l〕一y「i〕)/h=f(x〔i〕y(x仁i]))因此可以根据x[i〕和y「i〕的数值计算出y〔i+l〕来:,y〔i+x]=y〔i]+h*f(x仁i〕y〔i〕).alC十+60:下面就在vis
4、u编程环境下对一个简单的常微分方程=,,.犷二一y十l二任〔O053了(0)=l,二=二+一’,求近似数值解由于该简单方程可以用数学方法求得其精确表达式y()e()所以可以据此。检验近似数值解同真实解的误差情况对于其他一些结构复杂的常微分务程的数值解实现方法也是一样。,VC:的下面就通过来实现上述算法并对计算结果进行比较doubley6;「」刀用于存放计算出的常微分方程数值解edoublT;/用于存放真实解ouer;dbl刀存放真实解与数值解之间的误差for(intk=o;k<6;k++)y【k」二o;//数组清零
5、y[O]二l:inti二0;收稿:23一一日期(X)0216.:一,,,,:作者简介李晓霞(1980)女山西绛县人硕士研究生研究方向教育技术48for(doublex=o;x<0.6;x+=0.1)刀区间分5段,步长为0.2{一xT=x十eXp);刀真实解y【i+l〕i」+0.1‘(x一y仁i]+一):刀数值解(近似)sT一yi;fab(「」)刀误差.,,,strt“y%d=%r=rn”iyi::Forma(「〕f%f\「])eout<6、的近似数值解及各自同真实解的误差表1欧拉算法误差比较xiyiyx1xi一yi[」(各分点)[](数值解)(〔1)(真实值)一y(仁」)[]+(误差)...0.01仪均以刃1《X众联《旧)0拟X兀,(XXX1.《X又8370以又837X)...0210](X洲洲)1.0187310的8731.03I02)1.(月习8180.0118189(叉X0.41.051.610070320014220.0.5(从科侧)11《拓531001日又l虽然从实验结果看误差不算太大,但这仅仅是一个用于实验的非常简单的常微分方程,对于实际
7、工程中应用的结构复杂的方程其求解结果的误差要远比此大得多,由于还存在着局部截断误差和整体截断误差,有必要采取措施来抑制、减少误差,尽量使结果精确。在构造欧拉公式时采取的一个重要步骤用,。:十二十‘—x向前差商来代替导数如将其改为向后差商也行此时的欧拉公式就变成了y「i1]y仁i〕hf(「i+,十,,,+。l]y〔i1])由于该式是一个隐式公式所以可用迭代法进行计算直至获取到满足精度要求的y「i1〕,,从数学上可以证明该式的局部截断误差和前面的欧拉公式的截断误差在主部上只相差正负号所以只要。:将显示和隐式的两个欧拉公
8、式相加后再行求解会大大减少误差改进后的欧拉公式的表达式为+=+‘x,+x+,+关x,y「il]y〔i]h(f(仁i]y「i〕)f([il〕y「i]hf([i〕y仁i])))/2,,,以减少运算量达到最高的运算效率:对此式进行编程需要分步对其进行计算for(doublex=O;x<0.6;x+=0.1)}T=x+exp(一x:)TI=y「i〕+0.1‘(x一y
