随机分数阶微分方程初值问题基于模拟方程法的数值求解-论文.pdf

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1、应用数学和力学，第35卷第10期AppliedMathematicsandMechanics2014年10月15日出版Vo1．35，No．10，Oct．15，2014文章编号：1000—0887(2014)10-1092—08⑥应用数学和力学编委会，ISSN1000-0887随机分数阶微分方程初值问题基于模拟方程法的数值求解孙春艳，徐伟(西北工业大学理学院应用数学系，西安710072)(我刊编委邓子辰推荐)摘要：基于模拟方程法，提出了一种求解随机分数阶微分方程初值问题的数值方法．考虑含两个分数阶

2、导数项的微分方程，引入两个线性的、非耦合的随机模拟方程，利用它们解构原方程，借助Laplace变换及逆变换，得到方程解的积分表达式，同时建立起两个模拟方程之间的联系，结合初始状态，得到求解随机微分方程初值问题的数值迭代算法．作为特例，对于含两个分数阶导数项线性常微分方程的初值问题，给出了基于模拟方程法的数值解法的显式结果．该方法是稳定的，它的误差仅存在于积分近似时的截断误差和计算软件的舍入误差．应用实例说明了数值方法在确定和随机情形的有效性和准确性．关键词：分数阶导数；随机分数阶微分方程；模拟方

3、程；初值问题中图分类号：0322；0324文献标志码：Adoi：10．3879／j．issn．1000-0887．2014．10．003引言随着分数阶微积分理论的发展J，分数阶微分方程渐渐成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一．Bagley等研究发现，分数阶微积分可以作为粘弹性材料本构关系的理想模型．Koeller等。。讨论了分数阶微积分在粘弹性力学中的应用．近年来，xu等¨”分析了分数阶系统的混沌、同步和控制．目前，在分数阶微分方程求解方面少有系统性的结果，往往只有适用于一些特殊方程的特

4、定求解方法，带有一定局限性，如Laplace变换法、Fourier变换法H、特征向量展开法和平均方法¨等．分数阶微分方程的数值求解已有了一些结果．Diethelm和Walz_】提出外推方法来提高数值方法的精度．随后，Diethlem等¨提出了Adams方法、预估-校正方法，并给出了方法的程序实现和误差分析．Ford和Simpson_2针对非线性分数阶微分方程，分析了固定存储原则，提出了嵌套网络方案，给出了数值方法的变步长实现，以合理的计算花费获得了更好的逼近解．Cuesta等获得了Banach空

5、间中求解分数阶积分微分方程的trapezoidal公式．现有的数值算收稿日期：2014—05—19；修订日期：2014．09-08基金项目：国家自然科学基金(11772233)作者简介：孙春艳(1984一)，女，山东威海人，博士生(通讯作者．E—marl：sunchunyan@mail．nwpu．educn)．1092孙春艳徐伟法中一些难题仍未得到彻底解决，如长时间历程及大空间域的计算等，尚未形成成熟的数值计算软件．所以，发展新的数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决

6、分数阶微分方程数值算法计算量和存储量过大的问题，成为了数值方法研究的主要任务．模拟方程法(analogequationmethod)，是Katsikadelis等基于边界元法(boundaryele-mentmethod，主要用于求解扩散波动方程的边值问题)提出的，用于对非线性常微分及偏微分方程进行数值模拟．模拟方程法利用一组等价的、非耦合的模拟方程的求解来得到原微分方程的数值解．本文旨在建立一种随机分数阶微分方程初值问题的数值求解方法．考虑含两个分数阶导数项的微分方程，基于模拟方程法理论，引入

7、两个随机模拟方程．利用Laplace变换及其逆变换，得到未知函数的积分表达式，并建立两个模拟方程的联系．结合微分方程的初始条件，导出未知函数的初始状态，得到求解微分方程组初值问题的数值算法．作为特例，给出含两个分数阶导数项的线性常微分方程基于模拟方程法的数值方法．以算例说明该数值算法的有效性和准确性．1算法分析不失一般性，考虑含两个分数阶导数项的随机微分方程：g(Dq(t)，D(t)，(t))=t)，(1)其中，g是一个是线性或非线性的函数；，(t)是方程的输入，作为对Katsikadelis工

8、作的推广，它可以是确定性函数或平稳随机过程；阶数满足0<：