一阶常微分方程初值问题的数值方法.ppt

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1、一阶常微分方程初值问题的数值方法------单步法武汉大学数学与统计学院一阶常微分方程初值问题的一般形式是:称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz条件是指:利用Picard逼近容易证明:Th1若f(x,y)在区域D上连续,且对y满足Lipschitz条件,则初值问题(1)在[a,b]上存在唯一的连续可微解y.利用Gronwall不等式易证解连续依赖于初值条件:一.Euler方法局部截断误差Euler方法的局部截断误差二.改进的Euler方法改进的Euler方法的局部截断误差整体截断误差8.1.2一阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta方法考虑一阶常微分方程初值问题将

2、区域[a,b]进行分划：若则n级显式Runge-Kutta方法n级显式Runge-Kutta方法二级Runge-Kutta方法取n=2记由此得另一方面为使局部截断误差为,应取改进的Euler方法取中点方法取二阶Heun方法取n级显式Runge-Kutta方法二级Runge-Kutta方法取n=2记由此得另一方面为使局部截断误差为,应取改进的Euler方法取中点方法取二阶Heun方法取二级Runge-Kutta方法不超过二阶记则因此局部截断误差只能达到三级Runge-Kutta方法取n=3记又由于因此要使局部截断误差为O(h4)，必须Kutta方法取三阶Heun方法取三级Runge-K

3、utta方法不超过三阶完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析将和都展开到项易证三级Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到四级R-K方法取n=4经典R-K方法局部截断误差为O(h5)附注二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到