计算方法――常微分方程初值问题的数值解法课件.ppt

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1、计算方法华中科技大学数学与统计学院第六章常微分方程初值问题的数值解法计算方法课程组§6.1基本离散方法§6.2Runge-Kutta方法§6.3线性多步法§6.4收敛性与稳定性§6常微分方程数值解法基本思想:根据微分中值定理有：这里称为在区间上函数的平均斜率。§6.2龙格-库塔方法建立高精度的单步递推格式。问题：计算近似值的关键是如何选择算法确定平均斜率？龙格-库塔方法的基本思想考察Euler格式：它简单的取点的斜率值作为平均斜率,精度较低。考察改进的Euler格式：它可以理解为用与两个点的斜率值和取算数平均斜率。龙格-

2、库塔方法这个处理过程启示我们，如果设法在内多预报几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为平均斜率，则有可能构造出更高精度的计算格式。二阶方法推广改进的Euler格式，对于区间内任意给定一点：用和两个点的斜率值和加权平均得到：即令（为待定参数）取问题是如何取先用Euler格式预报：将和值代入，得到二阶龙格-库塔方法基本形式二阶龙格-库塔方法接下来问题在于如何选取参数值，使其具有较高精度。考查近似关系式：不管取值如何，它都具有一阶精度。可以适当的选取参数，使其具有二阶精度。为简化处理，令，上式可以化简为：令它对于准确成立，可得

3、：二阶龙格-库塔方法满足这一条件的二阶基本形式统称为二阶的龙格-库塔格式。二阶龙格-库塔方法特别地，当时，有改进欧拉格式三阶库塔格式用三个点，，的斜率的加权平均得到平均斜率。其形式：取用Euler格式预报得：，可得（3）和已知，用线性插值可得三阶库塔格式问题在于如何选取值。同二阶方法，得近似关系式：它对成立，令它对于准确成立，可得三阶库塔格式综上所述，这样设计出的差分格式具有形式：这种三阶格式称作库塔格式。四阶经典龙格-库塔格式继续前面的推导过程，设法在区间内多预报几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为平均斜率，即可设计

4、出更高精度的单步格式。这类格式统称为龙格-库塔格式。实际计算中常用的为四阶经典格式：按照数学学习一般方法，继续上面的做法，经过较复杂的数学推理和计算，可以导出常用的四阶龙格－库塔格式。四阶精度的计算框图：四阶经典龙格-库塔格式算例：分别用Euler公式，改进的Euler公式，经典4阶R-K公式计算一阶常微分方程初值问题。并与准确解比较。解：Euler公式,改进的Euler公式取步长h=0.1,经典4阶R-K公式取步长h=0.2。4阶R-K公式：XEuler公式改进Euler公式4阶R-K公式准确值0.01.00001.0

5、0001.00001.00000.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.34171.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61531.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321计算结果见下表：

6、分析：单从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。因此，同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。在选择步长时，需要考虑的问题：如何衡量和检验计算结果的精度；如何依据所判定的精度来处理步长。龙格-库塔方法小结龙格-库塔方法的实质就是通过几个点上的预报斜率值估算平均斜率，而得到需求点的值，计算量比较大。它没有用到已给点上的斜率值，为了充分利用前面已给点的斜率值，亚当姆斯（Adams）方法解决了这

7、个问题。