2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何阶段复习课学案新人教a版选修2-1

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1、第三课空间向量与立体几何［核心速填］1.空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量乩b(bHO),a//b的充要条件是存在实数人,使得a=人b.⑵共线向量定理的推论：若方，亦不共线,则"，A,〃三点共线的充要条件是0/^=A0A+pOB,且人+〃=1.(3)共面向量定理：如果两个向量曰，方不共线,那么向量p与向量⑦方共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点0和丕荃线的三点力，B,C,则只A,B,C四点共面的充要条件是0P=xOA+,yOB+zOC(其中x+y+z=^・(5)空间向量基本定理：如果

2、三个向量日，b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+zc，其屮｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.2.空间向量运算的坐标表示设曰=(臼1,戲，臼3),b=(b,b?.,b.i).(1)a+b=(臼i+bi,血+b,角+bj,a~b=(自i—bi,业一&Lb),/Ia=a白1,人金？人昂),a•b=曰ibi+$2厶+ah.(2)重要结论：a//b^a=Ab^>ai=久边=Aa3=Afo(AER):aJLboQ*方=0o日"1+日262+日3厶=0.3.模、夹角和距离公式仃)设a=(6?h及，<3b)9b=(bi,bzj&)9则®a=/

3、a・日=寸占+£+^；②cos〈a,b)=7aI川##+£+£•寸〃+公+/1ab+azl^+Sih(2)设力th,ci),B(如bi,G),则dB=IAB=j(0—0)"+(血一方1)"+(s—cj'.4.空间向量的结论与线面位置关系的对应关系⑴设直线/的方向向量是u=(<31,b,Cl),平面。的法向量v=(^2,bl,C2),贝lj1//ci<=>f/±v<=>u•卩=0o曰ig+5Z>2+oc2=0,/丄aouHvou=kv0(a、0)=£（及，bi.C2）o&i=W$2,b=kbjCi=kc・2（kwR）•(2)设直线厶刃的方向向量分别为20,平面Q,0的法

4、向量分别为GU,则1//in^a//Zx=>8=kb,斤UR；/丄〃/u>2丄Zx=>a•方=0；1//a02丄〃=0；7±o<=>a//u<=>a=ku,AER；a//0o〃〃vu>u=kv,AER；ci丄Bou丄v<=>u•r=0.1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线71,厶的方向向量分别为皿，皿，则厶与厶的夹角0满足cos〃=

5、cos〈如，她〉

6、・(2)设直线/的方向向量和平面a的法向量分別为皿n,则直线/与平面Q的夹角e满足sin0=

7、cos〈皿刀〉

8、•(3)求二面角的大小：(i)如图3-1®,AB,〃是二面角-厶0的两个半平面a,0内与棱/垂直的直线,则二而角的大小0

9、=(AB,CD).图3-1(ii)如图3・1②③，m屁分别是二面角a■卜B的两个半平面sQ的法向量，则二面角的大小〃满足COS0=cos

10、正确；又因为底面是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以苗・嘉=2・2・cosZ/ISB,■Ed=2・2・cosZm而ZASB=ZCSD,于是看・SB=SC・sbf因此④正确，英余三个都不正确,故止确结论的序号是③④.［答案］③④［规律方法］1.空间向量的线性运算包插加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体儿何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.2.空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a*b=a•b•cos

11、重要公朮(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体儿何问题的重要公式，如才=

12、引2,2在b上的投影〒=

13、引・coso等.［跟踪训练］1.如图3・3,己知ABCD-A'B'CD'是平行六面体.3—►设“是底而個⑦的中心，N是侧面BCC对角线BC上的&分点，设加◎oAB+0AD+yAA1,贝【Jq+0+y=3-［连接BD,则必为BD的中点,赢=庞+丽=詠+扌矗=#(肋+勸+扌宓+方)=*(_亦勸+扌(亦揃)=

14、1133na=70=才Y=~:.a+〃+Y=~J»