2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课学案 新人教a版选修2-1

《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课学案 新人教a版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章空间向量与立体几何学习目标　1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一　空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv

2、，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝线面夹角l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sinθ＝面面夹角α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝知识点二　用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得

3、点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一　空间向量及其运算例1　如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.其中正确结论的序

4、号是.答案　③④解析　容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1　如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝

5、a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.解　连接AN，则＝＋，由已知ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，又M分成的比为，故＝－＝－(a＋b).由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b).于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c).类型二　利用空间向量解决位置关系问题例2　四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD.(2)平面PBC⊥平面PCD.证明　(1)如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，

6、y轴，z轴建立空间直角坐标系.设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E(0，，).＝(0，，)，＝(a，a，0).设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝(1，－1，)，因为·n＝(a，0，－b)·(1，－1，)＝0，所以⊥n，故PC∥平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a，0)，又＝(a，a，－b)，＝(a，0，－b)，设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即得y1＝0，令x

7、1＝1，则z1＝，所以m＝(1，0，)，因为·m＝(0，a，0)·(1，0，)＝0，所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.反思与感悟　(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法①转化为线线平行、线面平行处理.②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直

8、，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法①转化为证明线面垂直.②证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，F.∴＝(1，0，0)＝，＝，