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《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教a版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章空间向量与立体几何[自我校对]①共面向量定理②坐标表示③加减运算④坐标运算空间向量的概念及运算1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.2.空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝
2、a
3、·
4、b
5、·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式.(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝
6、a
7、2，a在b上的投影＝
8、
9、a
10、·cosθ等. 给出下列命题：①若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b＜0，〈a，b〉为钝角；③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面.其中错误命题的个数是( )A.1B.2 C.3 D.4【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法.【规范解答】 ①错误，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，但线段AB与A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即cos〈a，b
11、〉＜0，得＜〈a，b〉≤π，而钝角的范围是；③错误，当λ＝0时，λa＝0，不是l的方向向量；④错误，如在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，令＝a，＝b，＝c，则它们两两共面，但，，不共面.【答案】 D[再练一题]1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.图31【解析】 由题知＝＋＝＋＝＋(＋)，从而有x＝1，y＝.【答案】 1 空间向量与线面关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的
12、法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决. 在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.【精彩点拨】 (1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用⊥，⊥，列方程求其坐标即可.【规范解答】 以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,
13、0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(1)证明：∵＝(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴·n＝0，即⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴即∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.[再练一题]2.如图32所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别
14、为AB，PC的中点.求证：图32(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.【导学号：37792148】【证明】 (1)法一：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)，∵M，N分别为AB，PC的中点，∴M，N.∴＝，＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，∴＝＋.又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.法二：易知为平面PAD的一个法向量.＝(b,0,0)
15、，又＝，∴·＝0，∴⊥.又MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)由(1)可知：P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0).所以＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a).设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则得∴令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b).设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则得∴令y2＝1，则n2＝(0,1,1)，∵n1·n2＝0.∴n1⊥n2，即平面PMC⊥平面PDC.空间向量与空间角利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解.(1)若两条异面直线的方
16、向向量分别为a，b，所成角为θ，则cosθ＝
17、cos〈a，b〉
18、.(2)直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sinθ＝
19、cos〈u，n〉
20、.(3)二面角的平面角为θ，两个半平面
