数学模型课程设计-中国人口增长预测

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1、中国人口增长预测摘要:中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数，利用logistic模型求出人口最大上限，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰

2、色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。关键词:曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率13一、问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我

3、国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出

4、预测。二、符号说明nianfen年份chusheng出生率bata0估计的参数值nlinfit非线性拟合函数出生率函数死亡率函数人口上限t时间x（t）人口增长函数X(0)中国各年人口总数X(1)X(0)的一次累加序列Z(1)X(1)的紧邻均值生成数列-a发展系数b灰色作用量人口预测值c均方差相对误差三、模型的假设1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略；2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响；3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。四、模型的建立与求解4.1中国人口短期预测的模型建立与求解根据

5、查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一）处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋向一个固定值，即最大容纳量xm，由logistic模型求出。假设xm在短时间内不会改变，则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。设x(t)为第t年

6、中国总人口数，r为人口的增长率，xm为中国人口的最大容纳量。建立logistic模型13（1）解得：，将1996-2005年中国人口总数带入方程（1），导数用一阶差商来代替：（2）得方程组（3）由最小二乘法求解出可得：设置系数的初始值beta0，beta0是使函数收敛的值。并由代码拟合，分别得到出生率和死亡率的函数。（详细代码见附录一）出生率函数：（4）死亡率函数（5）将logistic模拟出的数据代入的常数项，用MATLAB求解（方法同（4）、（5））人口增长函数：保留结果时，用digits，vpa来精确位数。由拟合函

7、数求得预测死亡率与出生率。并计算相对误差见表1表1：1996-2005年实际数据与预测数据的比较及相对误差年代实际出生率‰实际死亡率‰预测出生率‰预测死亡率‰出生率相对误差死亡率相对误差199616.986.5616.666.510.01880.0076199716.576.5116.086.500.02960.0015199815.646.5015.496.500.00960.0000199914.646.4614.916.490.01840.0046200014.036.4514.336.480.02140.0047

8、200113.386.4313.746.470.02690.0062200212.866.4113.166.460.02330.0078200312.416.4012.576.450.01290.0078200412.296.4211.986.440.02520.003113200512.406.5111.406.4