概率与数理统计

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1、水木艾迪培训学校2007年考研公式班概率讲义问题集粹问题1.1事件间的关系和运算中应该注意些什么问题？[解答与导引]事件间的关系是用集合间的关系来定义的，事件间的运算是利用集合运算的关系来定义的。详细可见表1.1。因此它具有集合运算的所有性质。正因为如此，事件间的关系也常用集合间的关系来描述，例如说事件的不相容为事件的不−相交，说事件A的逆事件A为事件A的余事件，甚至也说成A的余等；而事件间的运算也常用集合间的运算来表示，例如求和、求交等。虽然事件的求并、求交等也常说成是求和、求积，并且求和用“＋”表示，求交

2、的运算符常略去不写，但是事件的运算与代数运算是不同的。(1)一般的，(AΥB)−B≠A−−(2)当A⊂B时，AΥB=B,AB=A,A⊃B;(3)对偶原理是事件（或集合）的特别性质；事件间关系和运算的正确判断直接影响概率计算的正确性，因此要重视。例1.1.1设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生（3）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C都不发生（5）A，B，C中不多于一个发生（6）A，B，C中至少有两个发生−−−[解]（1）A

3、BC（2）ABC（3）AΥBΥC（4）ABC（5）−−−ABΥACΥBC（6）ABΥACΥBC例1.1.3设某箱装有100件产品，其中一、二、和三等品分别为82、10、和10件，现在从中水机抽取得一件，记A＝“抽到i等品”i＝1，2，3.i−试求：P(AA),P(AΥA),P(AΙA)131313[解]P(AA)＝013−P(AΥA)=p(A)=1−p(A)=0.8+0.1=0.91322−P(AΙA)=P(A)=0.8131地址：清华东门创业大厦1006电话：010-62701055010-62796032

4、水木艾迪培训学校2007年考研公式班概率讲义问题1.2概率的定义中为什么要规定可列可加性？[解答与导引]“概率”是度量事件发生可能性大小的“尺子”。在学习概率的定义时，绝大多数初学者不明白为什么要有“可列可加性”的规定。我们来看大家熟知的“长度”的概念。一个区间的“长度”是非负的集函数，我们将用L（A）表示。111令Ω=(0,1],A=(0,]，对n>1，A=(1−,1−]1nn−1n222∞1易知L(An)=n，注意诸An不交，且∑L(An)=(0,1]。又2n=1∞∞1∑L(An)=∑n=1=L()0,1

5、n=1n=12∞∞因此L(∑An)=∑L(An)，这就是可列可加性。可见作为一个度量的“尺度”，应该有可n=1n=1列可加性的要求。实际上(0,1]上的任意子区间的长度，也可视为Ω=(0,1]上该子区间的概率，由于一个点的长度为0，所以研究长度时，(0,1]和[0,1]不作区别。问题1.3样本空间如何选取？[解答与导引]要注意弄清随机试验的最终结果是什么，参加试验的个体时可辩还是不可辩的。例如1.3.1之（3）是按照规则至多抽取4个产品的检查结果，而不是无规则地抽取4个产品；又如例1.3.2试验结果是n个人（

6、当然是可辩）的一次排队，而不是n个人本身。例1.3.1写出下列随机试验的样本空间。记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；对某厂出长的一批产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品时就停止检查，否则检查了4个产品时也就停止检查，记录检查的结果。将一尺之锤折成三段，观察各段的长度。i[解]（1）Ω={:i=0,1,......100n}，其中n为此班的人数。n（2）Ω={00,100,0100,0110,1100,1010,1011,0111,01101,1110,

7、1111}，其中0表示次品，1表示正品。（3）Ω={(x,y,z):x>0,y>0,z>0,x+y+z=1},其中x,y,z分别表示第一、二、三地址：清华东门创业大厦1006电话：010-62701055010-62796032水木艾迪培训学校2007年考研公式班概率讲义段长度，或者Ω={(x,y):x>0,y>0,z>0,1−(x+y)>0},其中x,y分别表示第一、二段长度。[特别提示]弄清随机试验的最终的基本结果，是正确选择样本空间的关键。例如本例之（2）是按照规则至多抽取4个产品的检查结果，而不是无规

8、则地提取4个产品。（3）则是将第一尺之锤任意折成三段，于是有三个约束的长度。如果将锤的左端点取为坐标原点，x,y分别表示折断点的坐标，则又可写Ω={(x,y):0