概率与数理统计教案

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1、引言一、必然现象与随机现象在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100时必然沸腾。”“向上抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥，异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下有确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但是在试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。同样地同一门大炮对同

2、一目标进行多次射击（同一型号的炮弹），各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹着点的确切位置，以上所举的现象都具有随机性，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。再看两个试验：试验Ⅰ：一盒中有十个完全相同的白球，搅匀后从中摸出一球；试验Ⅱ：一盒中有十个相同的球，其中5个白球，5个黑球，搅匀后从中任意摸取一球。对于试验Ⅰ而言，在球没有取出之前，我们就能确定取出的球必是白球，也就是说在试验之前就能判定它只

3、有一个确定的结果这种现象就是必然现象（必然现象）。对于试验Ⅱ来说，在球没有取出之前，不能确定试验的结果（取出的球）是白球还是黑球，也就是说一次试验的结果（取出的球）出现白球还是黑球，在试验之前无法肯定。对于这一类试验而言，骤然一看，似乎没有什么规律而言，但是实践告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球（每次取一球，记录球的颜色后仍把球放回盒子中搅匀），那么总可以观察到这样的事实，当试验次数n相当大时，出现白球的次数和出现黑球的次数是很接近的，比值（或）会逐渐稳定于，出现这个事实是完全可以理解的，因为盒子中的黑球数与白球数相等，从中任意摸一球取得白球或黑

4、球的“机会”相等。试验Ⅱ所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在试验之前不能确定试验会出现哪一种结果，这类试验所代表的现象成为随机现象，对于试验而言，一次试验看不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试验，试验的结果又遵循某些规律，这些规律称之为“统计规律”。在客观世界中，随机现象是极为普遍的，例如“某地区的年降雨量”，“某电话交换台在单位时间内收到的用户的呼唤次数”，“一年全省的经济总量”等等。一、随机试验上面对随机试验做了描述性定义，下面进一步明确它的含义，一个试验如果满足下述条件：（1）、试验可以在相同的条件下重复进行；（2）、试验的所有可能结

5、果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）并且不止一个；（3）、每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现哪一个结果。称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。二、概率论与数理统计的研究对象概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数学分支有着密切的联系，它是近代数学的重要组成部分。数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性

6、，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型。虽然概率论与数理统计在方法上如此不同，但作为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。概率论与数理统计这门学科的应用相当广泛，不仅在天文、气象、水文、地质、物理、化学、生物、医学等学科有其应用，且在农业、工业、商业、军事、电讯等部门也有广泛的应用。三、概率论与数理统计发展简史概率论被称为“赌博起家”的理论。概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，有趣的是：尽管任何一门的数学分支的产生与发展都不外乎是生产、科学或数学自身发展的推动，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究

7、，当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(a

8、概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是贝努里，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文，概