概率与数理统计-2

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1、第一章随机事件与概率§1随机事件与事件的运算：一.随机试验:概率论是一门研究随机现象量的规律性的数学学科．为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察和试验，我们把这种观察和试验统称为试验．概率论中所研究的试验具有下列特点：(1)可以在相同的条件可重复进行。(2)试验的可能结果不止一个，并且在试验前能明确可知所有可能的结果。(3)试验前无法预知哪一个结果出现。我们把具有上述特点的试验称为随机试验．在重复进行试验时个别结果发生与否具有偶然性，但当重复试验次数相当大时，总有某种规律性出现．例如：抛—枚均匀硬币，观察其出现正反面朝上情况，一次试验就是抛

2、一枚硬币，这是随机试验，试验的可能结果有两个：出现正面、出现反面．在试验前无法断言哪个结果出现，但重复多次后，“出现正面”这个结果的相对频率却呈现出稳定性(即接近0．5)，这便是规律．二．随机事件：１．随机事件的粗略定义：在随机试验中可能发生的结果或可能不发生结果称为随机事件，简称为事件，常用字Ａ、Ｂ、L表示．【例１】抛—枚均匀硬币，“正面朝上”这个事件（记作Ａ）是一个随机事件，简写为Ａ＝“正面朝上”，＂同样地，有Ｂ＝“正面朝下”．２．常用与最基本事件：（１）基本事件与复合事件：在一随机试验中，它的每一个最简单不能再分解的结果称为基本随机事件

3、，简称基本事件。例如：掷一枚骰子这一试验，出现“１点”，“２点”，“３点”，“４点”，“５点”，“６点”，都是基本随机事件，可分别用A＝“i点”(1i=,2,,L6)i表示．在一个试验中，由两个或两个以上基本事件复合而成，称它为复合随机事件。简称复合事件．例如：掷一枚骰子这一试验，出现偶数点是一复合事件，它是由出现“２点”，“４点”，“６点”，三个基本事件，而且当且仅当上述三个基本随机事件中的一个发生，出现偶数点这一复合随机事件发生，可用AAA++表示．246（２）必然事件：在一定条件下必然会发生的事情称之为必然事件，记为Ω．（３）不可能事件

4、：在一定条件下必定不会发生的事情称为不可能事件，记为φ．【注意】◆随机事件、必然事件、不可能事件都是相对一定试验条件而言，例如：掷一枚骰子这一试验，出现“７点”是不可能事件，但如果试验条件改为掷两枚骰子就不是不可能事件．◆为讨论方便，必然事件、不可能事件都视为随机事件，作为极端情况．三．样本点与样本空间：11为研究方便起见，事件之间的关系及运算利用集合工具是有益的．（１）样本点：随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，记为ω．（２）样本空间：由所有样本点组成的集合称为样本空间或称为基本事件空间，记为Ω．样本空间也就是必然事件，这是因为在每次试

5、验必然出现Ω中的某个基本事件，也即必然发生，因此，仍用Ω表，而任何一个随机事件Ａ都是样本空间Ω的一个子集.【例２】在【例１】中，令ω＝“正面朝上”，ω＝“正面朝下”，则有12Ω＝{ω，ω};12又若令0=“正面朝上”，1=“正面朝下”，则有Ω＝{0，1}【例３】从标号为1，2，…，10的十个完全相同的球中任取一个，令ω＝“取得i号球”(i=1,2,L,10)，则样本空间iΩ＝{ω，ω，L,ω}1210【例４】掷两枚骰子，其样本空间⎧⎫(1,1),(1,2),L(1,6),⎪⎪⎪⎪(2,1),(2,2),L(2,6),Ω=⎨⎬，共有３６个样本点

6、．⎪⎪LLLL⎪⎪⎩⎭(6,1),(6.2),L(6.6)【例５】你的一个同学约定在某天晚上7点到８点之间来你家作客。令ω＝“来到你家的时间”，则tΩ＝{ωω19≤≤20}tt四．事件的关系和运算1．事件的包含和相等：设有事件Ａ及Ｂ，如果Ａ发生，那么B必发生，则称事件Ｂ包含事件A，记为Ａ⊂Ｂ或Ｂ⊃Ａ,如果事件Ａ包含事件Ｂ，同时事件Ｂ也包含事件Ａ则称事件Ａ与Ｂ相等，记为Ａ＝Ｂ特别地，对任一个事件A，有φ⊂⊂ΩA．２事件的和（并）：两事件Ａ与Ｂ中至少发生一个，这一事件称为事件Ａ与事件B的和或并，记作Ａ＋Ｂ或ＡUＢ12类似地，可定义n个事件及可列无

7、限个事件的和。若几个事件AA,,,LA中至少有一个发生，则称这12n一事件AA,,,LA为的和或并，记为12nnAA+++LA或UA12nii=1若可列无限个事件AA,,,LA，…中至少有一个发生，则称这一事件为AA,,,LA，…的和或12n12n并，记为∞AA++++LLA或UA12nii=1３．事件的积(交)两事件A与B同时发生，称这—事件为事件A与事件B的积或交，记为ＡIＢ或ＡＢ类似地，可定义n个事件及可列无限个事件的积。４.事件的差:事件4发生而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记为A−B特别地，对任一个事件A，有ΩAA−

8、=φ，A−=φA，Ω−Ω=φ５.不相容(互斥)事件:若两事件A与B不能同时发生，则称事件A与事件B是互不相容的或互斥的,记为AIB=φ或AB=φ类似地，若n个事件A