2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期中考试数学（理）试题

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1、2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A．B．C．D．3.由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，用的是（）A．三段论推理B．类比推理C．归纳推理D．传递性关系推理4.若向量，，，则实数的值为（）A．B．C．D．5.用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时要

2、做的假设是（）A．函数恰有两个零点B．函数至多有一个零点C．函数至多有两个零点D．函数没有零点6.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．7.定积分（）A．B．C．D．8.已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（）9.甲、乙、丙、丁四位同学一起向数学老师询问数学竞赛的成绩．老师说：他们四人中有2位获得一等奖，有2位获得二等奖，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．乙、丁可以知道对方的成绩B．乙、丁可以知道自己的成绩C

3、．乙可以知道四人的成绩D．丁可以知道四人的成绩10.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.函数的极大值点为（）A．B．C．D．12.设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.当且时，复数在复平面上对应的点位于第象限．14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．15.如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为．16.函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是．三

4、、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间及极值．18.已知四棱锥中，底面，，，，是中点．（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值．19.设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．20.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21.已知函数（）．（1）为的导函数，讨论的零点个数；（2）当时，

5、不等式恒成立，求实数的取值范围．22.已知复数，（为实数，为虚数单位），且是纯虚数．（1）求复数，；（2）求的共轭复数．2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题理科数学答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.四14.15.16.三、解答题17.解：（1），由题意可知，∴，代入得，∴，∴．（2），令，或，列表得：∴的单调增区间为，，单调减区间为，，．18.（1）证明：取的中点，连接、，∵、分别为、的中点，∴，且，又∵，∴且，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立

6、空间直角坐标，，，，，，，设平面的一个法向量，，，∴即令，则，，，设直线与平面所成角为，．19.解：（1），∴，又，∴，即切线方程为．（2）要证，由于，只需证明，即证，设，则，，（且不恒为0）成立，∴在单调递减，且，∴成立，即时，成立．20.证明：（1）连接，∵，，∴△为等边三角形，又∵为中点，∴，又∵，∴，∵为矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面，∵平面，∴．（2）由（1）知平面，∵、平面，∴，，又∵，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，，设平面的一个法向量为，，则即令，则，由

7、图形知，平面的一个法向量，由题意知，即，即，∵，∴．　21.解：（1），，，，且当时，，，所以；当时，，，所以．于是在递减，在递增，故，所以①时，因为，所以无零点；②时，，有唯一零点；③时，，取，，则，，于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．（2）令，，，，．①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在上递减，则，不符合题意．综上，．22.解：（1），∵为纯虚数，∴，，∴，．（2），∴的共轭复数为．