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1、第28卷第3期福建师范大学学报(自然科学版)Vol.28No.32012年5月JournalofFujianNormalUniversity(NaturalScienceEdition)May2012文章编号:1000-5277(2012)03-0006-04分次环与K-群12郑敏,陈清华(1.福建师范大学协和学院,福建福州350108;2.福建师范大学数学与计算机科学学院,福建福州350108)摘要:讨论分次环R、单位元分支环Re、环R与smash积环R#G间Ki-群的关系,从而给出扩大(G,H)-分次环相
2、关环的Ki-群的关系刻划(i=0,1).关键词:K-群;分次环;smash积环;扩大(G,H)-分次环中图分类号:O153.3文献标识码:ATheGradedRingandK-group12ZHENGMin,CHENQing-hua(1.ConcordUniversityCollege,FujianNormalUniversity,Fuzhou350108,China;2.SchoolofMathematicsandComputerScience,FujianNormalUniversity,Fuzhou35
3、0108,China)Abstract:ItdiscussestherelationoftheKi-groupsbetweenthegradedring,theidentitybranchringRe,ringRandsmashproductringR#G,andthengivethecharacterizationoftheKi-groupsofringsrelatedtotheaugmented(G,H)-gradedring.Keywords:K-group;gradedring;smashproduc
4、tring;augmented(G,H)-gradedring[1]H.Bass在1968年完成的代数K-理论专著标志着代数K-理论这一新研究领域的诞生.之后代数K-理论的迅速发展,使之渗入许多相关领域,如代数数论、代数拓扑、代数几何、算子代数等,逐步体现了其重要性.结合分次环理论与代数K-理论的知识,本文主要讨论分次环R、单位元分支环Re、环R与smash积环R#G间Ki-群的关系,从而给出扩大(G,H)-分次环相关环的Ki-群的关系刻划(i=0,1).若无特别交待,本文均视G(分别地H)是一个含单位元eG
5、(分别地eH)的乘法群(在不混淆的情况下均简记为e),环为含单位元的结合环.记Ki(R)Ki(f.g.projRM),i=0,1,分别称为环R的K0-群与K1-群(f.g.projRM是环R上的有限生成投射模组成的满子范畴);记grKi(R)Ki(f.g.grprojRM),i=0,1,分别称为分次环R的分次K0-群与分次K1-群(f.g.grprojRM是分次环R上的有限生成分次投射模组成的满子范畴).本文涉及的相关概念与性质详见文献[1-3].1分次环与K0-群1.1K0(R)与K0(Re)间的关系[
6、4]引理1设环S为环R的扩张,满足对任何有限生成投射R-模P,R-模正合列0PSRP(S/R)RP0可裂,且S为平坦R-模,则K0(i)∶K0(R)K0(S)为单同态.命题2设R为G-型分次环,Re为其单位元分支,R为平坦Re-模,则K0(Re)为K0(R)的子群.收稿日期:2010-11-11基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671161);福建省自然科学基金资助项目(Z0511022);福建省教育厅资助项目(JB09088)通讯作者:郑敏(1983-),女,讲师,硕士,研究方向为基础数学.wos
7、hizhengmin20@163.com第3期郑敏等:分次环与K-群7证明作为Re-模,Re为Re-模R的直和项,从而Re-模正合列0ReR(R/Re)0可裂.再由对任何有限生成投射Re-模P,-RP为加法函子,故0ReRPRRPeee(R/Re)RP0可裂,即0PRRP(R/Re)RP0可裂.故由引理1,可得eeeK0(i)∶K0(Re)K0(R)为单同态,从而K0(Re)为K0(R)的子群.推论3设R为G-型强分次环,则K0(Re)为K0(R)的子群.[3]例1设R为环,G为群,群环RG为G-
8、型强分次环且(RG)e=R,则K0(R)为K0(RG)的直和项.-1-1进一步,称群G可分,若群G存在无交并G=S∪{e}∪S,其中e为群G的单位元,SG且S-1={ss∈S},则有以下命题成立.-1命题4设R=g∈GRg为G-型分次环,其中当g∈S(或g∈S),Rg=0,则K0(Re)为K0(R)的直和项.证明由于环同态ReR=g∈GRgR/(g∈SRg)=Re的合成为恒等同态,从而存在
