Toeplitz代数的K-群

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1、致谢本文是在我的导师曹广福教授的悉心指导下完成的。在三年的学习生活中，曹老师在学习、生活、研究等方面给予了我很多帮助、教诲和鼓励。曹老师的高尚的学术道德、严谨的治学态度，深邃的数学思想。对科学执着的态度和敏锐的洞察力以及对数学的热爱，都给我留下了深刻的印象，是我～生学习的榜样。在此，匈曹老师表示深深的敬意和谢意。研究生阶段的孙顺华教授和严丛荃教授谆谆教诲，本科及研究生阶段院内的老师的关心，研究生阶段的各位师兄师姐师弟师妹的关心和帮助，在此，特f句他们表示由衷的感谢。Jll四川走学硕士学位论丈引言算子代数K一理论是算子代数与拓扑K一理论相结合的产物，其初衷是将每一个算子代

2、数对应到一些交换群，通过这些交换群的结构，提供代数的重要信息，进而以这些交换群作为不变量完成算子代数的分类。然而迄今为止，尽管这一理论己日趋成熟，它能发挥作用的范围依然受到了很大的限制，原因在于算子代数K一群的计算是一件十分复杂的事情，人们能够计算出的K一群是{‘分有限的。目前人们熟知的K一群包括：Cuntz代数的K一群、有理旋转代数的耳一群、圆盘上丁oe州；拓代数的K一群等，即使对某些特殊的算子代数如c中一般区域的Toeplitz代数，其K一群的计算也是非常困难的。从G，ECao[15]的工作中可以看出，仅就严格拟凸域而言，其上的Toeplitz代数的耳一群也是各种各

3、样，千差万别的。可见对这些算子代数K一理论的研究可以为人们研究一般算子代数鲍K一理论提供丰富的例子，并带来有益的启示，同时，由于Toeplitz代数与区域几何、区域的函数空间均有着密切的联系，其代数结构依赖丁-区域几何结构，因此，通过这类代数的研究，对于沟通算子代数与几何、拓扑的内在关系具有重要意义。事实上，一些几何问题，函数论问题，可以在Toeplitz算子、ToepIitz代致理论中找到相应的影子问题。本文主要考虑两类Toeplitz代数的Ⅳ一群，第一章我们通过六项正合列计算出，在强拟凸域上，它的拓扑边界上连续函数代数的K1．群同构于区域上Toeplitz代数的^，

4、I一群与z的直和。进一步汪明了；在复平面c中，任意有界域趵拓扑边界上连续函数代数的K1一群与其边界上的上同伦群同构。此外，我们还对环面上Toeplitz代数的K群进行了讨论。第二章对Dirichlet空间上的Toeplitz算子序列的总体紧性进行了刻画，给出了符号在C1(西)中的Toeplitz算子总体紧性的一个充分条件，进一步给出了复调和符号总体紧性的充分必要条件。最后，讨论了总体紧性在两种不同定义下的联系。四川太学硕士擘位论文第一章Toeplitz代数的K一群§1强拟凸域上Toeplitz代数的耳l一群单位圆周上的Hardy空间H2佃)中的经典Toeplitz算子定

5、义为T,I=尸(妒，)，Vf∈日2(T)，2其中币是Lm(T)中的函数，P是从L2(T)到H2(丌)的正交投影。Toeplitz代数是一类非常重要的算子代数，特别地C·一代数扩张理论与"l'oeplitzc+一代数有着深刻的联系，I．Gohberg与M．Krein共同证明了下面著名的基本事实(cf．R．G，Douglas[1】)定理A[1]由具有连续函数符号母∈G(T)的Toeplitz算子生成的C+一代数沂=G+(％：妒∈o(口))则它包含日2口)q1全体的紧算作为它的交换子理想，且存在如下的C4一代数正台序列O一￡一西二c(v)一0这里口是“符号同态”，它由(71(

6、％)=砂唯一决定，其中妒∈c(可)。定理B任给V-,∈c(丌)，则％是Fredholm算子的充分必要条件是t[J可逆r邵妒口)cc一(o}，且当耳是Fredhotm算子时t我{f]有Index％=一windingnumberof妒特别地Index瓦=一1。由叭上的定理，不难计算出Toeplitz代数西的／fo一群。下面的定理是熟知的结论。定理CK0(JT)垒zS．Axler，J．B．Conway与G．McDonald[2]研究了复平面中连通区域上的Toeplitz代数得到了如下定理四川大学碰士学住论文3定理D([2]定理9)设G是复平面中非空有界连通的开子集，J(G)是

7、{％：妒∈G(劢}生成的Toeplitz代数，则s(a)的交换子理想就是鹾(G)中的紧算子理想K(G)，且有G‘一代数同构S(G)／K(G)掣G(02一。G)对于任给的妒∈C@)，口是把％+K(C)映到妒la2一。G的c4一同构．其中02一。G为G的Bergman本质边界。在[3】，【4]中，G．KCao研究了连通域上的Tocplitz代数凰一群。LA．Cobum[51把定理A推广到了@单位球上得到了所谓的Cobam正合序列。定理E[51由具有连续函数符号砂∈c(s)的Toeplitz算子生成的C+一代数Gs=G‘(％：咖∈C(s))则它