抽象代数群的定义

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1、第3讲群的定义及例子8/12/20211群的定义设非空集S上有一个运算·,1、如果运算满足结合律，则称(S,·)是半群。2、如果半群S中有一个元素e满足a∈S有e·a=a·e=a，则称(S,·,e)是幺半群，称e为单位元或幺元。3、如果幺半群S满足a∈S有ｂ∈S使得a·ｂ=ｂ·a=e则称a是可逆元，并称ｂ是a的一个逆元。注：通常用1表示单位元。8/12/20212群定义４命题若a是可逆元，则a的逆元是唯一的，记为a－１．证明：若a有两个逆元ｂ和ｃ，即有ab=ba=1,ac=ca=1b=1b=cab=c1=c.■5、如

2、果幺半群S的每个元素都有逆元，则称Ｓ是一个群(group)。运算满足交换律的群Ｓ称为交换群.8/12/20213群定义6、对群G中的元a和正整数n．an表示n个a相乘;a-n=(a-1)n,a0=17、验证：amn=(am)n;am+n=aman.8/12/20214几个问题:(1)、为什么要求群的运算满足结合律?(2)、为什么要有单位元？(3)、逆元的存在性有何运算意义?8/12/20215群的例子再明确一下群的概念定义设Ｇ是一个非空集合，如果Ｇ上定义了一个运算满足（Ｉ）结合律a,b,c∈A有(ab)c=a(bc)；（

3、Ⅱ）有单位元e：a∈A有ea=ae=a；（Ⅲ）有逆元a∈G，有b∈Ｇ使得ab=ba=e(其中b称为a的逆元，记为a－１)。则称Ｇ是一个群．注意：记住验证运算的封闭性！8/12/202161.１群的概念和例子例１实集Ｒ、有理数集Ｑ、整数集Ｚ关于数的加法都是交换群（满足交换律的群）；关于数的乘法怎么样？规定：只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。当交换群G的运算符才能用加号“+”表示时，则称G为加群。例２　正实集Ｒ＋、正有理数集Ｑ＋关于数的乘法都是交换群；正整数集Ｚ＋关于数的乘法怎么样？8/12/20217例３即方程xn

4、=1的全部根之集，不难验证:1.１群的概念和例子设是n次单位根集．Ｕn关于数的乘法是一个群．叫做n次单位根群。8/12/202181.１群的概念和例子证明：例４域Ｆ上的全体n阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶一般线性群．即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．封闭性可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，结合律:矩阵的乘法满足结合律；单位元:单位矩阵Ｉ就是单位元；逆元:Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A的逆矩阵就是Ａ的逆元．8/12/202191.１群的概念和例子例５域Ｆ上的行列式为1的全体n阶方阵之集

5、SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶特殊线性群．例6实数域R上的全体n阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶正交群．8/12/202110例7向量空间VＦ上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群．例8n维欧氏空间VＦ上的全体正交变换之集On(V)关于变换的合成运算构成一个群．例9平面上绕一定点按同一方向旋转2k/n的变换记为k，则{1,2,…,n}关于变换的合成运算构成一个群。8/12/202111作业：P17:1,5,6,98/12/202112