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1、群的定义及其推广摘要：本文主要是考虑了以下一个问题，不为空集的集合G，对“.”有结合律，则G是一个群的充分必要条件是任意的a,b属于G.方程aX=b以及Ya=b在G中都有解，其中方程①有解与方程②有解两个条件能否去掉一个？通过分析验证，最终得出结论为①②两个方程有解缺一不可，下文则通过论证证明这一事实。关键词：群，左单位元，右单位元，左逆元，右逆元，单位元，逆元，元素§1基础知识①群的第一定义：当且仅当G是一个关于运算“·”封闭的半群，如果任意的a,b属于G,方程aX=b,Ya=b在G中都有唯一解，则G为一个群。
2、②群的第二定义：G是一个对上述“·”封闭的半群，而且G中存在左单位元e,对于任意的a属于G,都存在左逆元，那么G为一个群。§2问题的连接证明在书中可以看到，如果(G,.)是一个群，那么对于任意的a,b属于G,取c=a∧(-1).b,d=b.a^(-1),则a.c=b,d.a=b…(1.1)由于群满足消去律，使得（1.1）成立的c,d是唯一的，反之，若对任意的a.b属于G,均有唯一的c,d使(1.1)成立，又由于G为非空，所以我们任取一个g属于G,由条件可知，对g,应有e使得e.g=g,可证得，这样得到的元素e实际
3、上是个左单位元。因为对于任意的a属于G,据条件，相应于a,g又必有h属于G,使得g.h=a,于是e.a=e.(g.h) (g.h=a) =(e.g).h (结合律) =g.h (e对g有特殊作用，e.g=g)=a (g.h=a)再来证明对于e,每个a属于G都有左逆元，据条件，对a,e应有d使得d.a=e据群的第二定义，（G,.）为群。§3问题的猜想和论证在定义一的证明中，我们看到两个方程分别转化成了有左单位元和左逆元的证明，此时，由群的第二定义得出G为群，由此可见，若aX=b,
4、Ya=b中去掉一个方程，必然引起两个元素之间会少去一个，因此，两个条件必不可少，当且仅当两个方程均有唯一解的情况下，G才为群。如下反例：设G为实数域上的全体n阶矩阵，我们由以前的知识知道，G满足结合律，则G为半群，但是由于G中的矩阵有的可逆，有的不可逆，因此不可能找到单位元，即矩阵(设为E).AE=EA=A.使得对于任意的矩阵都成立，所以没有单位元，所以显然，G不是一个群，但是任意的矩阵A,C.在G中有B使得AB=C,但是由矩阵的运算我们知道，矩阵的乘法没有交换律，即在G中不一定能找到D,使得DA=C，所以此时两
5、个方程只满足了一个，而且同时G也不是一个群，所以命题是错误的。§4问题的结论经过对于问题的分析和论证，可以得出，关于“·”封闭的半群G为群，当且仅当aX=b,Ya=b两个方程在G中均有唯一解，且两个条件缺一不可。§5问题的推广关于群的定义，我们讨论了㈠基本定义，即①结合律②单位元③逆元。推广了㈡①结合律②左单位元③左逆元（右单位元和右逆元）㈢①结合律②方程aX=b和Ya=b有唯一解…㈣①结合律②两个消去律㈤①结合律②左单位元③右消去律（右单位元和左消去律）其中共七种定义分别提到了左单位元，右单位元，左逆元，右逆元
6、，左消去律，右消去律，且通过本文知道，只有一个方程满足有解的情况下不为群，所以说可以思考8个条件的重新组合成其他的群的定义.参考文献：⑴韩士安，林磊，近世代数，第二版，北京，科学出版社，2009⑵牛凤文，抽象代数，第二版，武汉，武汉大学出版社，2008⑶GarrettBirkhoff，SaundersMacLane，ASurveyofModernAlgebra,(fifthEdition)，近世代数概论，王连祥，徐广善译，北京，人民邮电出版社，2008⑷Joseph.J.Rotman,AFirstCouseinA
7、bstractAlgebrawithApplications(ThirdEdition),抽象代数基础教程，李样明，冯明军译，北京，机械工业出版社，2008⑸盛德成，抽象代数研究生教科书，北京，科学出版社，2001英文摘要：This article'smainidealssurveythetwoequation:aX=bandYa=ballhaveanswerin G，Init.a,barewantonlyinG.It'stheampleandnecessaryrequirementtotheGisagrou
8、p.Amongthem.Ifwecanremoveoneofthetwoequations.Bywayofanalysesandtestandverify.WecanreachtheconclusionaX=bandYa=ballhaveanswerinGshouldnotlackeveryoneofit.
