抽象代数--群的定义教学教材.ppt

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1、抽象代数--群的定义群定义6、对群G中的元a和正整数n．an表示n个a相乘;a-n=(a-1)n,a0=17、验证：amn=(am)n;am+n=aman.9/9/20212几个问题:(1)、为什么要求群的运算满足结合律?(2)、为什么要有单位元？(3)、逆元的存在性有何运算意义?9/9/20213群的例子再明确一下群的概念定义设Ｇ是一个非空集合，如果Ｇ上定义了一个运算满足（Ｉ）结合律a,b,c∈A有(ab)c=a(bc)；（Ⅱ）有单位元e：a∈A有ea=ae=a；（Ⅲ）有逆元a∈G，有b∈Ｇ使得ab=ba=

2、e(其中b称为a的逆元，记为a－１)。则称Ｇ是一个群．注意：记住验证运算的封闭性！9/9/202141.１群的概念和例子例１实集Ｒ、有理数集Ｑ、整数集Ｚ关于数的加法都是交换群（满足交换律的群）；关于数的乘法怎么样？规定：只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。当交换群G的运算符才能用加号“+”表示时，则称G为加群。例２　正实集Ｒ＋、正有理数集Ｑ＋关于数的乘法都是交换群；正整数集Ｚ＋关于数的乘法怎么样？9/9/20215例３即方程xn=1　的全部根之集，不难验证:1.１群的概念和例子设是n次单位根集．Ｕn关于数的乘法

3、是一个群．叫做n次单位根群。9/9/202161.１群的概念和例子证明：例４域Ｆ上的全体n阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶一般线性群．即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．封闭性可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，结合律:矩阵的乘法满足结合律；单位元:单位矩阵Ｉ就是单位元；逆元:Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A的逆矩阵就是Ａ的逆元．9/9/202171.１群的概念和例子例５域Ｆ上的行列式为1的全体n阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶特殊线性群．例6实数域R上

4、的全体n阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶正交群．9/9/20218例7向量空间VＦ上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群．例8n维欧氏空间VＦ上的全体正交变换之集On(V)关于变换的合成运算构成一个群．例9平面上绕一定点按同一方向旋转2k/n的变换记为k，则{1,2,…,n}关于变换的合成运算构成一个群。9/9/20219作业：P17:1,5,6,99/9/202110此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢