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时间：2020-03-16
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1、近世代数第二章群论§2元素的阶1元素的指数在群中，由于结合律成立，有意义，据此,可定义群的元素的指数:设为正整数,则规定:显然有，，其中为任意整数.2定义1设为群的一个元素，使的最小正整数叫做元素的阶，记作；若不存在这样的，则称的阶显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶为无限.都大于1，3例1关于数的普通乘法做成4次单位根群.4例2正有理数乘群单位元的阶是1，其他元的阶均为无限.例3非零有理数乘群1的阶是1，-1的阶是2，其余元的阶均为无限.5定理1有限群中每个元素的阶均有限.，在中必有相等的.设则，从而阶有限.证明：设6注：无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，，其中是次单位根群关于普通乘
2、法作成无限交换群，甚至可能都有限.例4，则其中每个元素的阶都有限.7定理2若群中，则证明：令，，则.证明中，只需证.（2）若8定理3若群中，则，其中为任意的整数.设，则证明：9两个推论：推论1在群中，若,则，其中s，t均为正整数.推论2在群中，若，则10定理4在群中，若，，则当且时，证明：，，，于是若同理，11例5
3、ab
4、一定等于
5、a
6、
7、b
8、吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.12例5
9、ab
10、一定等于
11、a
12、
13、b
14、吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.13思考题：设G是群，且
15、G
16、>1.证明：若G中除e外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限，就
17、是素数.14
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