《群与环教学》ppt课件

《《群与环教学》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十章群与环主要内容群的定义与性质子群第十章:群与环第一节：群的定义及性质群简介群在抽象代数中具有基本的重要地位群是一个特殊的代数系统是环、域和模的基础在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支起作用群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中群简介群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出用以解决了五次方程问题提出：把数学运算归类例：全体整数的加法构成一个群10.1群的定义及性质半群：是一个代数系统,*是G上的二元运算,如果*在G上成立结合律a*(b*c)=(a*b)*c例：下列代数系统是半群R+表示正实数集合,,是半群,

2、n(R),·>是半群,Mn(R)是n阶矩阵的全体10.1群的定义及性质独异点：有幺元的半群例：下列代数系统是独异点,均为独异点,均为独异点为独异点为独异点：为函数复合单位元为恒等函数10.1群的定义及性质群：为独异点,并且每个元素都有逆元例：是群,幺元是0,逆元是相反数，为矩阵乘法运算存在幺元是单位矩阵n不是群,逆矩阵不一定存在为群Sn(R)=所有可逆矩阵的全体10.1群的定义及性质为群,其中N

3、6={0,1,2,3,4,5}幺元是01+65=0,2+64=0,3+63=0为群BP(A),B=B=BBB=10.1群的定义及性质例：四元群，设G={e,a,b,c}运算*表如下e为单位元G中运算是可交换的每个元素都有逆元*eabceeabcaaecbbbceaccbae10.1群的定义及性质群论中一些重要的概念有限群G：G为有限集无限群G：G为无限集群G的阶：G的基数平凡群：只含单位元的群交换群(阿贝尔群)：G中的二元运算是可交换的例：为无限群是有限群,阶数为n<{0},+>是平凡群10.1群的定义及性质群中元素的幂:G为群，a

4、G的n次幂a0=ean=an-1a,n>0(a)n=(a-1)m,n<0,m=-n例：中求2-32-3=(2-1)3=13=111=010.1群的定义及性质群的元素的阶(周期):G是群，aGa的阶：最小的正整数k，ak=e记作

5、a

6、=k:a为k阶元k不存在，则a为无限元例：中,2和4是3阶元,3是2阶元四元群中,e是1阶元,其他元素是2阶元*eabceeabcaaecbbbceaccbae10.1群的定义及性质定理：G是群，G中幂运算满足：10.1群的定义及性质2）证明：(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e(b-1*

7、a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=b-1*b=e所以(a*b)-1=b-1*a-1成立10.1群的定义及性质定理：设是群,则a,b,cG如a*b=a*c,则b=c如b*a=c*a,则b=c证明:(1)群中的每一个元素都有逆元，因此只要两边同左乘a-1,即可得证。(2)同理可证。注：如果a*b=c*a,未必得到b=c，而只能知道b=a-1*c*a，因为*不一定满足交换律10.1群的定义及性质例：设G为群，a,b∈G，且(ab)2=a2b2证明：ab=ba证：(ab)2=(ab)(ab)=abab=a2b2=aabb因为群的运算满足消去律，所以有ab=ba10.

8、1群的定义及性质定理：设G为群，aG，

9、a

10、=r。对整数kak=e当且仅当k是r的整数倍

11、a-1

12、=

13、a

14、证：①充分性:由于k是r的整数倍，必存在整数m使得k=mr,所以有ak=amr=(ar)m=e。必要性:存在整数m和i，使得k=mr+i,从而有e＝amr+i=amrai=ai因为a的阶是r，并且0≤i≤r-1所以i＝0。则k是r的整数倍10.1群的定义及性质定理：设G为群，aG，

15、a

16、=r。对整数kak=e当且仅当k是n的整数倍

17、a-1

18、=

19、a

20、证：②由于(a-1)r=(ar)-1=e-1=e。可知a-1的阶是存在的。令

21、a-1

22、=t，根据前面证明有r是t的整数倍。而a又是a-

23、1的逆元，所以a的阶也是a-1的阶的因子，故有t是r的整数倍。从而证明了r=t，即

24、a-1

25、=

26、a

27、10.1群的定义及性质例：设G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个证：由前面定理，对任意aGa2=ea-1a2=a-1ea=a-1故G中阶大于2的元素a,必有a≠a-1由于

28、a

29、=

30、a-1

31、，故G中阶大于2的元素成对出现第十章:群与环第二节：子群10.2子群与群的陪集分解子群：设是群,H是G的(非空)子集,如果H关于