分次г环在升链条件下的性质及其pg根

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1、Vol_41吉林大学学报(理学版)NO．32003年7月JOURNALOFJILINUNIVERSITY(SCIENCEEDITION)287～293分次环在升链条件下的性质及其PG根张子龙，刘稳，蔡炳苓(河北师范大学数学与信息科学学院，石家庄050016)提要：在环的基础上给出群分次环及分次理想等相关概念，得到分次环的某些重要性质．证明分次情况下Levitizki定理、Xie定理和Herstein—Small定理；并通过定义分次尸G根、分次尸根和分次QP根，推广了在环中的相关结论．关键词：G分次环；诣零分次

2、理想；幂零分次理想；Pc根中图分类号：O153．3文献标识码：A文章编号：1671—5489(2003)03—0287—07对于一般的环，已有很多好的研究成果．而关于群分次厂环的研究，目前尚未见到相关的结论．本文结合群分次环[]和环[2的定义，利用群G作用在环上，给出群分次环的概念．把分次环及一般r环的结果在群分次r环中进行了研究，进而推广了相应的结论．在文献[3～6]研究的基础上，本文对群分次环的结构及一些性质进行讨论，并证明群分次环的任一代数性质尸，总可以确定两个分次Amitsur—Kurosh根．为进一

3、步认识群分次环的结构奠定了基础．1分次厂环在升链条件下的性质定义1．1设厂与M是两个加法Abel群，若对Va，b，c∈M及Va，∈，均有：(1)aab∈M；(2)(a+b)ac—nac+bac，a(a+f1)c—nac+n卢c，na(6+C)：：=aab+nac；(3)(aab)卢c：na(6)．则称M为一环．定义1．2设M是一个环，G为一个有单位元的群，若M一0，其中为M的子加群，对Vg，gz∈G，若满足：，，则称M为G分次环．设M为一个G分次环，则h(M)一U中元称为M的齐次元素；M的子环Ⅳ叫做分次子环，

4、如果N-④N，其中一nN；M的左(右，双边)理想L叫做分次左(右，双边)理想，L一。_，其中L一nL．易知任意有限个分次子环的和、积与交仍是它的分次子环．定义1．3E]设a∈h(M)，若有正整数，使得(n)a一0，则称a是强幂零的；若对Va∈均有正整数，使得(na)a一0，则称a是幂零的．参照文献[3，8]，给出几个基本概念：设是M的一个子集，若中的齐次元全为强幂零的，则称为强分次诣零的[。]；若中的齐次元全为幂零的，则称为分次诣零的；若有正整数l"l，使得()S一0，则称为强幂零的；若对Va∈1-'，均有—

5、(a)，使得(a)S一0，则称是幂零的．由此可得出(强)诣(幂)零分次左(右)理想的概念．且易得：命题1．1E]设是分次环，则有：(1)若L是M的诣零分次左理想，则对任何齐次元aEL，VyE1-'，aTM是诣零分次r右理想；(2)M的两个(强)幂零分次左(右)理想之和仍是一个(强)幂零分次r左(右)理想；(3)M中若有非零的(强)幂零分次r单侧理想．则必有非零的(强)幂零分次理想．定理1．1(分次情形的Levitzki定理)设M是Noether分次环，L是M的分次左(右)理想，若收稿日期：2002．10-18

6、．作者简介：张子龙(1955～)，男，硕士·教授，硕士生导师·从事环与代数等方面的研究，E-mail：zlzhang@hebtu．edu．cn基金项目：河北省自然科学基金(批准号：102132)．I陲一日r丁．1．I捆啊r一288吉林大学学报(理学版)L是诣零的，则L是幂零的，其中Noether分次环是指分次左理想具升链条件之环．证明：取M的一切幂零分次r理想组成集合W，则0∈W，依假设，中有极大者，记作Ⅳ．由命题1．1的(2)知，Ⅳ实际上是的最大幂零分次理想，即Ⅳ包含的一切幂零分次理想，则必有LⅣ．否则，设

7、LⅣ，则分次商环=M／N是Noether分次环，且中没有非零幂零分次理想，但中含有诣零分次I1左理想，不妨设为M，为L，这样便有一个Noether分次I1环，它没有非零的分次幂零理想却含有一个诣零分次左理想L≠0，下证这不可能．由于L非幂零，由命题1．1的(1)知，必有形~naTM的非零诣零分次右理想，其中a∈h(L)．由是Noether的，可知集合n一{(6)lO≠6∈h())中必有一极大者，记为(6o)，对V∈h()，y’∈／-,，bo7∈h()，且有(6oyz)(6o)，因此若bo7≠0，则由(6o)之

8、极大性知(6o)一(6oy)现证6or6o一0．任取齐次元y∈M，若O≠6oyy∈B，则必有正整数七，使(6oyy7)抖(6oy)一0，而(6oyy7)(6oy)≠O，由于(6oyy7)(6oyY)具有形式bo7，∈h()，依上面的讨论知，E(boyy)(6oy)]一(6o)，但boyyEE(boyy)(6oy)]，故也有bo7Y∈(6o)，即bo7yPbo一0．由y，的任意性知，6or^一0，于是