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《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用12导数的计算（2）学案（含解析）新人教a版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二课时复合函数求导及应用层析教材，新知无师自通已知y=(3x+2)",复合函数y=sin(2x+石丿.问题1：这两个函数是复合函数吗?提示：是复合函数.问题2：试说明(3^+2)2是如何复合的.提示：令=3x+2,y=fu)=u,则y=/*(u)=f(g(x))=(3^+2)2.问题3：试求y=(3%+2)2,fu)=u,g3=3卄2的导数.提示：=(9/+12x+4)‘=18x+12,f(ti)=2u,g‘(%)=3.问题4：观察问题3屮的导数有何关系.提示：/='=f(u)・0(方・1.复合函数的概念对于两个函数和〃=呂(力，如果通
2、过变量〃，y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=fu)和u=g{x)的复合函数，记作y=•2.复合函数的求导法则复合函数y=/V3)的导数和函数y=f3,u=g®的导数间的关系为卅=y/・uj,即y对/的导数等于y对〃的导数与u对/的导数的乘积.锁定考向，考题千变不离其宗对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，(2)对于复合函数，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集.中间变量应该选择基本初等函数.判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导.LEB简单的复合函数求导问题求下列函数的导数：(1)尸寸1_2‘；(2)y
3、=esin“；(3)y=sin(2卄日；(4)y=51og2(2^+l).丄⑴设y=G,u=~2x,则"=(>)'(1—2少・(一处)1———9v=*(1—2#)2(_40=晋=.2yji-2x(1)设尸=『，u=sinx,贝'Jyx=y,•Ux'=e"・cos^=esn,Acosx.(3)设y=sinJIu,u=2x+~9则y/=yu•Ux=cos〃•2=2cos(2卄⑷设y=51og2⑺u=2x+l,则/=5(log2")/1010“In2=~ln~29分复合函数的求导步骤适当选定中何变hh止确分解复合关系■即说明函数关系H算卅心并把中
4、间变ht代回原自变足篇）的函数分步求导（弄淸每-步求导是哪个变届对哪个变址求导儿要符别注意中间变星对自变星求导，即先求儿1再求U?求下列函数的导数：⑴y=(2^r—1)，!；⑵y=W(3)y=sin：x+cosG解：⑴令u=2x—1,则尸=川，yf.r=y'u•u'x=4u•(2/—1)'=4u•2=8(2%-1)3.(2)令u=2x+3,则尸10",A/.=/“・d,=1(T・In10・(2/+3)‘=21n10・102v+3.(3)y=sin：x+cosk=(sin2^+cos2^)"—2sin2%•cos。=l-
5、sin22xlz、=1
6、—~(1—cos4x)3_14+4COS4x1,1Y所以/=才+才cos4x=—sin4x.复合函数少导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数:(2)y=^cosf2^r+—Jsin(2x+~^-)(1)/=(aVT+7)/=x‘++1+2*Q1+,1+/(2)y=xcos2/+*)sin(2x+*)=*-sin2%)cos2x=-*xsin4x,=(-#xsinx'1~2sin-抽4x—2xcos4x复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的幣
7、数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.求下列函数的导数:(3)y=xln(l+2x)•解：(1)/=x=2sin-•sin仲12x■(1)y‘=(sinS+sinx)'=(sin3^)'+(sin/)q•2I3o2=3sin^rcos卄cosx•3x=3sinOcos卄3,cosx.(2)”=yln(l+2x)+*2x=ln(l+2%)+y^•复合函数导数的综合问题设/(^)=ln(^+l)+y[7+l+ax
8、+b^方WR,自，方为常数)，曲线y=Kx)与直线y3=0%在(0,0)点相切,求曰，力的值.由曲线y=f(*)过(0,0)点，可得Inl+l+Z?=0,故力=—1.由f(.x)=ln(%+l)+y]x+1+ax+b,得尸（方二歼T+乔r+"则尸(o)=i+-此即为曲线y=f{x）在点（0,0）处的切线的斜率.解决复合函数求导与导数儿何意义综合问题的方法止确求岀复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件,求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离
9、s（单位：m）关于时间"单位:s）的函数为f=s⑺=5—曲二丽.求函数在t=—^［的导数，并解释它的实际意义.解：函数y=5_#25_9〃可以看作函数f(x)=5—
