高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念练习(含解析)新人教a版选修2-2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念练习(含解析)新人教a版选修2-2

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1、1.1.2导数的概念一、选择题1.函数在某一点的导数是(  )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【答案】 C【解析】 由定义,f′(x0)是当Δx无限趋近于0时,无限趋近的常数,故应选C.2.设f(x)在x=x0处可导,则li等于(  )A.-f′(x0)B.f′(-x0)C.f′(x0)D.2f′(x0)【答案】A 【解析】li=li-=-li=-f′(x0).3.y=x2在x=1处的导数为(  )A.2x          B.2C.

2、2+ΔxD.1【答案】 B【解析】 ∵f(x)=x2,x=1,∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2·Δx+(Δx)2∴=2+Δx,当Δx→0时,→2,∴f′(1)=2,故应选B.4.函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于(  )A.4aB.2a+bC.bD.4a+b【答案】 D【解析】 ∵==4a+b+aΔx,∴y′

3、x=2=li=li(4a+b+a·Δx)=4a+b.故应选D.5.曲线y=-在点(1,-1)处的导数值为(  )A.1B.2C.-2D.-1【答案

4、】A 【解析】f′(1)===1.6.设函数f(x)=ax3+2,若f′(-1)=3,则a等于(  )A.-1B.C.D.1【答案】D 【解析】f′(-1)==3a.∴a=1.二、填空题7.设函数y=f(x)在点x0处可导,且f′(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是________.【答案】【解析】 k=f′(x0)>0,∴tanθ>0,∴θ∈.8.与直线平行的抛物线y=x2的切线方程是.【答案】【解析】设切点坐标为,则切线斜率为,由=2得=1,故切点坐标为(1,1),切线斜率为2

5、,故切线方程为y-1=2(x-1),即.三、解答题9.已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,求直线l的方程.【解析】 ====-,当Δx无限趋近于0时,-无限趋近于-,即f′(x)=-.k=f′(1)=-4,切线方程是y-4=-4(x-1),即为4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0,则=,∴

6、c+8

7、=17,∴c=9,或c=-25,∴直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.10.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,

8、求a的值.【解析】 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x+ax-9x0-1)=(3x+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,∴=3x+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3x+2ax0-9.即f′(x0)=3x+2ax0-9.∴f′(x0)=32-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.∵斜率最小的切线与12x+y=6平行,∴该切线斜率为-12.∴-9-=-12.解得a=±3.又a<0,∴

9、a=-3.

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