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1、第20卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.20No.32003年6月 Science,TechnologyandDialecticsJun.,2003非欧几何发展中的若干认识论问题冯 进(常熟高等专科学校数学系,江苏常熟215500)摘 要:非欧几何在数学史上具有重要而特殊的地位.本文从认识论的角度,论述非欧几何发展中第一次遇到的数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性以及数学结论的真理性等问题,从中折射出它对数学发展的巨大推动作用。关键词:非欧几何;认识论;存在性;相容性;和谐性;真理性中图分类号:N03
2、3;N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2003)03-0057-0619世纪30年代非欧几何的诞生,标志着长达两千多年体上直接反映了客观事物的基本性质与运动规则,大量的生的关于欧氏几何第五公设问题探索取得了突破性进展,对现产、生活、天文观察实践,以及对这些实践的理性思考,使古代数学及相对论的发展具有极其重大的推动作用。非欧几代数学家确信宇宙万物是由数字构成的,甚至幻想整个世界何思想的发展有众多论著专门论述,它在数学史及科学史上就是数学,从毕达哥拉斯提出“万物皆数”,到柏拉图的“理念的意义几乎是其他数学知识所无法相比的,对此,美国
3、著名世界”,以及中世纪后的“上帝按数学方式设计宇宙”,无一不数学史家M·克莱因这样评述“在:19世纪所有复杂的技术是将数学作为是自然的本质。创造中间,最深刻的一个,非Euclid几何学,在技术上是最简坚持“自然的数学设计”信念的原因来自两大方面,一是单的,这个创造引起数学的一些重要新分支,但它的最重要古希腊人创立的逻辑推理方法,以及由此而产生的严谨的欧的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解,氏几何体系。逻辑思维方法的创立是古希腊人对人类文明以及它和物质世界的关系的理解,并引出关于数学基础的许的最大贡献,欧氏几何不仅是理性思维的经典蓝本,且它的[
4、1]多问题,这些问题在20世纪仍然在进行着争论。”不证自明的公理、及由此推出的一系列让人不得不接受的结数学知识的增长,包括数学概念的提出、数学命题的证论,为数学设计构建了坚实的基础;二是18世纪以前几乎所明、数学理论的建立等,是数学发展的重要表现,同时,也是有的科学实践都佐证了“自然的数学设计”。毕达哥拉斯时人们对数学的不断理解与认识的过程;反之,对数学的深入代就已经精确地知道弦发出的声音与弦长的关系;开普勒坚理解,以及对数学思想的透彻认识,同样也推动着数学的发信上帝按某个简单、优美的数学方案设计了世界,他的行星展,有时甚至会产生革命性的变革。非欧几何的诞
5、生正是具运动三定律将哥白尼的理论作了最大简化,准确地描述了行有这种意义,甚至“在整个思想史中,从来没有发生过具有如星运动规律;牛顿的万有引力及力学三定律则将数学设计的[2]此强烈影响的事件”。本文着重于认识的角度,从数学对信念推崇之极点,他为自己的工作能揭示无所不在的上帝之象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性、数学结秘密而倍感欣慰。所有这些实践,事实上都是以欧氏几何为论的真理性四个方面,论述非欧几何对数学发展的这种双重基本空间框架构建的。因此,二千多年来的理性思维活动、影响。这四个方面,是非欧几何产生后引起的数学上,更重科学研究实践以及传统习惯感
6、受,都把欧几里得体系当作神要的是认识上的问题,也是有史以来(至19世纪初)数学界圣不可侵犯的“圣书”,以至于“神明”之士宁愿对着欧几里得第一次遇到的关于数学的全新的认识论问题。定理发誓,而不愿对着“圣经”发誓。几乎所有的人都深信:一 第五公设问题探索:二千年努力引来欧氏几何就是真理。对数学及其性质看法的本质变化然而,由于欧氏几何是建立在直观自明的公理基础上的,其“自明性”要求与古希腊人追求理性的一贯”天性”,使经典数学几乎都是以现实世界为基本模型,数学结论总【收稿日期】 2002-08-08【作者简介】 冯 进(1958-),男,江苏常熟人,常熟高等专科学
7、校数学系副教授,从事数学教育、数学思想史的学习与研究。57《几何原本》一问世就成为众多数学家、哲学家审视的对象。立性,它不能由其他九条公理(公设)推出。与《原本》整体的完美性相比,其中的一些错误和不那么直观二 数学对象的存在性:思维方式的转变的结论总让人忐忑不安,包括欧几里得在内的少数“神明”之是非欧几何产生的根本原因士一开始就被公理系统中的二条公理(公设)所困惑:一是直线段的双向无限延长性;二是后被称为平行公理的第五公 数学对象的存在性应属于数学哲学的本体论问题。由设,即若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于数学学科的特殊性,其研究对象不是直
8、接的客观事物,而于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。欧
