从欧式几何到非欧几何

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1、马哲作业  从欧式几何到非欧几何欧几里得几何学，通常又称为初等几何学，它是古希腊数学家欧几里得（约公元前330-前260）创立的。如同恩格斯所指出：“科学的发生和发展一开始就是由生产决定的。”①欧几里得几何学正是古代劳动人民在生产实践中积累的数学知识的结晶，同时也是欧几里得运用公理化方法所建构的一部具有严密逻辑结构的经典理论体系。    由于生产活动的需要，人类很早就掌握了一些几何识。在古代埃及，尼罗河水经常泛滥，被淹没的地界需要重新测定，早期的几何学就伴随着土地测量而产生了。古埃及人还建造了许多金字塔，规模宏大的建筑工程也推动着人们对几何知识的探求。    古埃及的几

2、何知识后来传到了古希腊，在那里又得到进一步的发展。古希腊人不仅掌握了更多的几何定理和公式，而且还逐渐注意到这些定理和公式彼此之间的联系。古希腊学者亚里士多德系统地总结了关于形式逻辑的规则，从而为探讨几何命题之间的联系提供了推理工具。在这些条件下，一些数学家开始进行综合整理几何知识的工作，欧几里得就是其中一位最杰出的代表。    欧几里得的主要贡献在于他创立了几何学，著有《几何原本》一书（共13卷），从而把先前分散的几何知识误解逻辑地建构起来，使它们形成一个严密系统的理论体系。正是这部数学巨著，在其后两千多年的时间里，一直成为一切几何教科书的蓝本。在中国古代印刷术传入西欧

3、之前，此书凭借手抄世代相传已有一千八百年之久；有了印刷术之后，它又以各种文字刊印了一千多种版本。在西方文明发展的历史上，它的流传之广仅次于《圣经》，欧几里得的这一著作对系统传播几何知识发挥了巨大的作用。后来人们就把经过他整理并建构的几何学体系称为欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。    欧几里得取得这样辉煌的成就，和他成功地运用了公理化方法是分不开的。所谓公理化方法，简单地说，就是在某种科学已经积累了相当丰富的理性知识的基础上，根据已知的各种概念和命题之间的逻辑联系，选择其中一些概念作为“原始概念”，选取一些命题作为“公理”，从这些原始概念和公理出发，应用逻辑规则定义其

4、他概念，推导出其他命题，从而构成系统的理论体系，这种建构理论体系的方法就叫做公理化方法。欧几里得怎样运用公理化方法来整理几何知识并建构其理论体系的呢？首先，他挑选出反映现实世界空间形式的最基本的元素——点、线、面等作为原始概念，其他的几何概念都用这些概念来定义。    其次，他选择了一些最基本的命题作为公理。他的公理共有十条，其中有：通过两点可以引一条直线；直线的两端可以无限延长；给出圆心和半径可以作一个圆；凡直角都相等等等。这些命题之所以被称作公理，是因为它们叙述了一些十分明显的事实，人人都可以理解和接受，也可以说是公认的直理。作为公理的命题不需要加以证明，而它们则是

5、证明其他命题——定理的依据。然后，欧几里得就以这些原始概念和公理为出发点，通过严格的逻辑推理，一步一步地导出467个几何定理。他使大量分散的几何知识由浅入深、由易到难、环环相扣、秩序井然地构成了一个有机的系统整体。同时对每个概念给出清晰的定义，对每个定理给予严格的证明。他像是一位卓越的建筑大师，通过精心缜密的构思，为人类修造了一座庄严宏伟的几何大厦。    从欧氏几何问世直到19世纪以前，在这两千多年的时间里，数学家们一致认为欧氏几何是唯一正确的几何体系。如果说白璧还有微瑕的话，那么人们只是对其中的平行公理尚存些许怀疑。平行公理又称“第五公设”，它的内容是：如果一条直线

6、和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小两直角，那么两直线延长后必定在那两内角的一侧相交（把平行公理换成较通俗的表达形式，就是前面提到的：过已知直线外一点可以而且只能引一条和它平行的直线）。    为什么数学家们对这条公理表示疑问呢？这是因为在欧氏几何中其他定理都是简单明了的，而平行公理却显得冗长，含义也不太明确，使人觉得它不像一个公理，倒像是一个定理。人们还注意到，欧几里得最先推导的28个定理都是不需要引用平行公理的，似乎他本人也想尽量不用这条公理，是不是因为欧几里得没有找出证明方法，才不得不把它当作“公理”呢？根据这些理由，人们把平行公理看做欧氏几何的一个污点，而且

7、决心为这白璧除去微瑕。    许多数学家千方百计想要证明平行公理是一条定理，他们采用的证明方法可以分为两类：一类叫做直接证明，也就是想从其他公理推导出平行公理，经过无数次试验，方知此路不通。因为要想求证平行公理，总要引入新公理，但经仔细推敲，发现新公理不是与平行公理等价就是需要用平行公理来证明。另一类叫做间接证明，也称反证法，也就是先假设与平行公理相矛盾的命题，如过线外一点可以引一条以上的平行线，或者是通线外一点不能引平行线。然后以这些命题为前提进行推导，如果推导出错误的结果，这就从反面证明了平行公理是正确的。在这条道路上探索的结果，虽然